Con l’espressione prodotti notevoli si indicano alcune identità che si ottengono in seguito alla moltiplicazione di polinomi aventi caratteristiche particolari facili da ricordare.
Quadrato di un binomio
Consideriamo il binomio $A+B$, in cui $A$ e $B$ rappresentano due monomi ed analizziamo che cosa succede moltiplicando il binomio per se stesso, $(A+B)(A+B) = (A+B)^2$. Svolgendo i calcoli si ottiene:
$(A+B)^2=(A+B)(A+B) = A^2 + AB + BA + B^2=A^2+2AB+B^2$.
Pertanto, senza effettuare i passaggi intermedi si ha
$$ \boxed{ (A+B)^2=A^2+2AB+B^2 } $$
Quindi, il quadrato di un binomio è uguale alla somma algebrica tra il quadrato del primo termine, il quadrato del secondo termine e il doppio prodotto del primo termine per il secondo.
Eseguendo i prodotti, bisogna fare attenzione ai segni dei monomi: mentre i due quadrati saranno sempre positivi, il doppio prodotto può cambiare segno a seconda del segno di $A$ e $B$. Ad esempio:
$ (2ab^3 + 3cx)^2 = 4a^2b^6 + 9c^2x^2 + 12ab^3cx$, mentre $ (2ab^3 - 3cx)^2 = 4a^2b^6 + 9c^2x^2 - 12ab^3cx $.
Quadrato di un Trinomio
In modo del tutto analogo, considerando il trinomio $A + B + C$, il suo quadrato sarà uguale a
$$ \boxed{ (A + B + C) ^ 2 = A^2 + B^2 + C^2 +2\,AB + 2\,BC + 2\,AC }$$
Ancora una volta, fare attenzione ai segna quando si eseguono i doppi prodotti: ad esempio, $ (2a + b^2 - x^3y)^2 = 4a^2 + b^4 + x^6y^2 + 4ab^2 - 4ax^3y - 2b^2x^3y$.
Prodotto della somma fra due monomi per la loro differenza
Consideriamo due monomi, $A$ e $B$, e i binomi che otteniamo dalla loro somma e dalla loro differenza: $A + B$ e $A - B$. Eseguiamone il prodotto: $(A+B)(A - B)=A^2 - AB + AB - B^2=A^2 - B^2$. Quindi:
$$ \boxed{ (A+B)(A−B)=A^2−B^2 } $$
In generale, il prodotto tra la somma di due monomi e la loro differenza è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo termine. Ad esempio, $ (2a^2 + 3b^3) (2a^2 - 3b^3) = (2a^2)^2 - (3b^3)^2 = 4a^4 - 9b^6$.
Cubo di un Binomio
Ora eseguiamo il cubo di un binomio: $ (A + B)^3 = (A + B)(A + B)^2 =$ $ (A + B)(A^2 + 2AB + B^2) = $ $ A^3 + 2A^2B + AB^2 + A^2B + 2AB^2 + B^3$ che raccogliendo i termini simili è uguale a $A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$. In definitiva:
$$ \boxed{ (A + B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3 } $$
Possiamo dunque dire che il cubo di un binomio è uguale alla somma algebrica tra il cubo del primo termine, il cubo del secondo termine, il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo termine ed il triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo termine.
Qui bisogna prestare particolare attenzione ai segni: per esempio ##KATEX##\begin{aligned} (2a - b^2) ^3 & = ( 2a + (-b^2) )^3 = \\ & = 8a^3 + 3 \cdot (2a)^2 \cdot (-b^2) + 3 \cdot (2a) \cdot (-b^2)^2 + (-b^2)^3 = \\ & = 8a^3 - 12 a^2 b^2 + 6ab^4 - b^6 \end{aligned}##KATEX##.
Somma o differenza di cubi
Ora eseguiamo il seguente prodotto: $ (A + B)(A^2 - AB + B^2) = A^3 - A^2 B + A^2 B + A B^2 - A B^2 + B^3 = A^3 +B^3 $. Il trinomio $A^2 - AB + B^2$ è comunemente noto come falso quadrato, poichè differisce da quadrato di un binomio solo per il fattore $2$. Leggendo la catena di uguaglianze nell’altro verso, possiamo concludere che
$$ \boxed{ A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2) } $$
Con calcoli del tutto analoghi, si conclude che
$$ \boxed{ A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2) } $$
Notare come il segno presente nel falso quadrato sia l’opposto di quello tra i due cubi, mentre il segno presente nel binomio sia invece lo stesso. Facciamo un esempio: ##KATEX##\begin{aligned} 8a^6 - 27b^3 & = (2a^2)^3 - (3b)^3 = \\ & = (2a^2 - 3b)((2a^2)^2 + 2a^2 \cdot 3b + (3b)^2) = \\ & = (2a^2 - 3b)(4a^4 + 6a^2b +9b^2) \end{aligned}##KATEX##.