Nell’insieme dei polinomi in una sola variabile $x$, vogliamo definire l’operazione di divisione. Assegnati due polinomi, il dividendo $A(x)$ ed il divisore $B(x)$, vogliamo determinare altri due polinomi, il quoziente $Q(x)$ ed il resto $R(x)$, con grado di $R(x)$ strettamente minore del grado di $B(x)$, per i quali
$$ A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x). $$
Per eseguire l’operazione si usa un algoritmo molto simile a quello usato per la divisione tra numeri interi. Illustriamo l’algoritmo con un esempio:
eseguire la divisione tra i polinomi $ A(x)=3x^4+5x−4x^3−1 $ e $ B(x)=3x^2−1 $.
Prima di eseguire l’algoritmo dobbiamo sempre controllare:
- che il dividendo sia di grado maggiore o uguale a quello del divisore: $A(x)$ ha grado $4$, $B(x)$ grado $2$, quindi il dividendo è di grado maggiore del divisore;
- che i polinomi siano ordinati secondo le potenze decrescenti della variabile (in questo caso la $x$), poiché ciò non è vero riscriviamo $A(x)$ ordinato: $A(x)=3x^4 −4x^3 + 5x − 1$;
- che dividendo e divisore siano in forma completa, cioè abbiano i termini con tutti i gradi; nel nostro esempio, i due polinomi non sono in forma completa, quindi inseriamo i termini mancanti ponendo $0$ come coefficiente delle potenze mancanti: $A(x)=3x^4 −4x^3 + 0 \cdot x^2 + 5x − 1$, $B(x)=3x^2+0 \cdot x−1$.
- Passo 1
Disponiamo i polinomi secondo il seguente schema, del tutto simile a quello usato per la divisione tra numeri.
- Passo 2
Dividiamo il primo termine del dividendo per il primo termine del divisore, evidenziati in rosso: otteniamo $ x^2 $, che è il primo termine del quoziente e va riportato nello spazio dedicatogli, in verde.
- Passo 3
Moltiplichiamo il primo termine ottenuto $ x^2 $ per tutti i termini del divisore $ B(x) $ (evidenziati in rosso) e trascriviamo il risultato del prodotto sotto il dividendo (nello spazio evidenziato in verde), avendo cura, per essere facilitati nel calcolo, di:- incolonnare i termini con lo stesso grado, ossia scrivere i risultati del prodotto in ordine da sinistra verso destra;
- cambiare tutti i segni ottenuti, in questo modo risulta più pratico eseguire la somma algebrica dei polinomi invece che la sottrazione.
- Passo 4
Sommiamo il dividendo $A(x)$ con il polinomio sottostante, evidenziati in rosso, e riportiamo il risultato in un'altra riga, in verde nella figura sottostante. Questo risultato si chiama primo resto parziale. Notiamo che ha grado $3$, maggiore del grado $2$ del divisore, pertanto la divisione va continuata.
- Passo 5
Ripetiamo il procedimento tra il resto parziale ottenuto $-4x^3+x^2+5x-1$ e il divisore $3x^2+0x-1$. Dividiamo il primo termine del resto che è $-4x^3$ per il primo del divisore che è $3x^2$ (termini in rosso) e otteniamo $-\frac{4}{3}x$ (in verde) che è il secondo termine del quoziente.
- Passo 6
Proseguiamo moltiplicando $-\frac{4}{3}x$ per $B(x)$, evidenziati in rosso, e riportiamo il risultato del prodotto, con segno opposto, sotto i termini del primo resto parziale, ottenendo il polinomio evidenziato in verde; sommiamo i due polinomi, ottenendo il termine in blu.
- Passo 7
Possiamo ripetere per l'ultima volta il procedimento precedente tra il resto parziale $ R_p (x) =x^2 + \frac{11}{3}x - 1 $ e il divisore $B(x)$ in quanto hanno lo stesso grado. Dividendo il termine di grado maggiore di $R_p (x) $, che è $x^2$, per il termine di grado maggiore di $B(x)$ che è $3x^2$ si ottiene $ \frac{1}{3}$, che è il terzo termine del polinomio quoziente.
- Non possiamo più ripetere l’algoritmo poiché il resto ottenuto ha grado minore del grado del divisore. Quindi $A(x) : B(x)$ ha quoziente $Q(x)=x^2 - \frac{4}{3} x+ \frac{1}{3}$ e resto $R(x)=\frac{11}{3} x - \frac{2}{3}$.
Per riassumere: sia $A(x)$ un polinomio di grado $n$ e $B(x)$ un polinomio di grado $m$ con $n \geq m$; quando si esegue la divisione tra $A$ e $B$ si ottiene un polinomio quoziente $Q(x)$ di grado al più $n - m$ e un polinomio $R(x)$ di grado $g$, con $g < m$. Si può dimostrare che i polinomi $Q(x)$ e $R(x)$ sono unici. Se $R(x)$ è il polinomio nullo, la divisione è esatta e il polinomio $A(x)$ è divisibile per il polinomio $B(x)$.
Se invece i polinomi $A(x)$ e $B(x)$ hanno rispettivamente grado $n$ ed $m$ con $n < m$, allora la divisione $A : B$ non si può eseguire.