Il calcolo del minimo comune multiplo e del massimo comune divisore, studiato per i numeri, si estende anche ai monomi.
Massimo Comune Divisore
Premettiamo intanto le seguenti definizioni. Un monomio $A$ si dice multiplo di un monomio $B$ se esiste un monomio $C$ per il quale $A=B \cdot C$; in questo caso diremo anche che $B$ è divisore del monomio $A$.
Il massimo comune divisore (M.C.D.) tra due o più monomi è il monomio che, tra tutti i divisori comuni dei monomi dati, ha grado massimo. Il coefficiente numerico può essere un qualunque numero reale: se i coefficienti sono tutti interi è opportuno scegliere il loro M.C.D., se non lo sono è opportuno scegliere $1$.
Procedura per calcolare il M.C.D. tra monomi:
Il M.C.D. di un gruppo di monomi è il monomio che ha:
- per coefficiente numerico il M.C.D. dei valori assoluti dei coefficienti dei monomi qualora questi siano numeri interi, se non sono interi si prende $1$;
- la parte letterale formata da tutte le lettere comuni ai monomi dati, ciascuna presa una sola volta e con l’esponente minore con cui compare.
Per esempio proviamo a calcolare $\text{M.C.D.}(14a^3b^4c^2,\,4ab^2,\,8a^2b^3c)$. Per prima cosa calcoliamo il M.C.D. tra i coefficienti numerici $14$, $4$ e $8$ che è $2$. Per ottenere la parte letterale si mettono insieme tutte le lettere comuni, ciascuna con l’esponente minore con cui compare: $ab^2$. In definitiva il $\text{M.C.D.}(14a^3b^4c^2,\,4ab^2,\,8a^2b^3c)=2ab^2$.
Minimo comune multiplo
Estendiamo ora ai monomi la nozione di minimo comune multiplo. Il minimo comune multiplo di due o più monomi è il monomio che, tra tutti i monomi multipli comuni dei monomi dati, ha il grado minore. Il coefficiente numerico può essere un qualunque numero reale: se i coefficienti sono tutti interi è opportuno scegliere il loro m.c.m., se non lo sono è opportuno scegliere $1$.
In realtà, applicando la definizione, è poco pratico calcolare il m.c.m. Esiste però una procedura, molto pratica e semplice, per il calcolo del m.c.m. tra due o più monomi: il m.c.m. di un gruppo di monomi è il monomio che ha:
- per coefficiente numerico, il m.c.m. dei valori assoluti dei coefficienti dei monomi qualora questi siano numeri interi (se non sono interi, invece, si prende $1$);
- la parte letterale formata da tutte le lettere comuni e non comuni ai monomi dati, ciascuna presa una sola volta e con l’esponente maggiore con cui compare.
Per esempio, calcoliamo il minimo comune multiplo tra $5a^3bc,\,12ab^2c,\,10a^3bc^2$. Il m.c.m. tra i coefficienti $5$, $12$, $10$ è $60$. Per ottenere la parte letterale osservo il grado più alto delle lettere componenti i monomi, riporto tutte le lettere, comuni e non comuni, una sola volta e con il grado maggiore con cui ciascuna compare: $a^3b^2c^2$.
In definitiva, $\text{m.c.m.}(5a^3bc,\,12ab^2c,\,10a^3bc^2)=60a^3b^2c^2$.