Una espressione letterale in cui numeri e lettere sono legati dalla sola moltiplicazione si chiama monomio.
Gli elementi di un monomio sono fattori, perché sono termini di una moltiplicazione, ma possono comparire anche potenze, infatti la potenza è una moltiplicazione di fattori uguali. Non possono invece comparire esponenti negativi o frazionari: in un monomio gli esponenti delle variabili devono essere numeri naturali.
L’espressione nelle due variabili $a$ e $b$ $$E= 5 \cdot 2 a^2 \frac{3}{8} a b 7 b^2$$ è un monomio perché numeri e lettere sono legate solo dalla moltiplicazione. L’espressione $$E=2a^2 - ab2$$ non è un monomio poiché tra le lettere compare anche il segno di sottrazione.
Un monomio si dice ridotto in forma normale quando è scritto come prodotto di un solo fattore numerico, detto coefficiente, e di potenze letterali con basi diverse. Il complesso delle lettere che compaiono nel monomio ridotto a forma normale ne costituisce la parte letterale.
Il grado complessivo di un monomio è la somma degli esponenti della parte letterale. Quando il monomio è ridotto a forma normale, l’esponente di una sua variabile ci indica il grado del monomio rispetto a quella variabile. Il monomio $\frac{3}{5}a^3bc^2$ ha grado complessivo $6$, ottenuto sommando gli esponenti della sua parte letterale ($3+1+2=6$). Rispetto alla variabile $a$ è di terzo grado, rispetto alla variabile $b$ è di primo grado, rispetto alla variabile $c$ è di secondo grado.
La moltiplicazione tra monomi si effettua moltiplicando prima i coefficienti numerici e dopo le parti letterali: nella moltiplicazione tra i coefficienti usiamo le regole note della moltiplicazione tra numeri razionali; nella moltiplicazione tra le parti letterali applichiamo la regola del prodotto di potenze con la stessa base.
Ad esempio, $$ \frac{3}{14}a^4 c^2 \,\cdot\, \frac{7}{6} a b^3 = \frac{1}{4} a^5 b^3 c^2. $$
La potenza di un monomio è un monomio avente per coefficiente la potenza del coefficiente del monomio di partenza e per parte letterale la potenza della parte letterale:
$$ \left( \frac{3}{2} b x^2 y^5\right)^3 = \left( \frac{3}{2} \right)^3 \left( b x^2 y^5\right)^3 = \frac{27}{8} b^3 x^6 y^{15}$$
Il quoziente di due monomi, detti dividendo e divisore, è così composto: il coefficiente è il quoziente dei coefficienti dei monomi dati, la parte letterale è costituita dalle lettere del dividendo, con esponenti ottenuti sottraendo a quelli del dividendo quelli del divisore, così come indicano le regole note per la divisone di potenze con la stessa base. Per esempio:
$$ 2a^4bc^3x^2 : \frac{4}{3}ac^3x = \frac{3}{2}a^3bx$$
Attenzione però: se la potenza di alcune lettere risulta negativa, per esempio perchè il grado rispetto ad una lettera del divisore è maggiore del grado rispetto alla stessa lettera del dividendo, il quoziente non si può fare: infatti il risultato, avendo un esponente negativo, non sarebbe un monomio. Ad esempio, il quoziente fra $2a^4bc^3x^2$ e $\frac{4}{3}ac^3x$ si può calcolare, mentre quello tra $\frac{4}{3}ac^3x$ e $2a^4bc^3x^2$ no, poichè ad esempio, il grado rispetto ad $a$ del dividendo è $1$, mentre il divisore rispetto ad $a$ ha grado $4$.
Occorre quindi controllare, prima di poter fare un quoziente, che il grado del divisore rispetto a ciascuna lettera sia minore o uguale del grado del dividendo rispetto a quella stessa lettera.
Due o più monomi che hanno parte letterale identica si dicono simili. Per identica si intende che non devono comparire solo le stesse lettere, ma anche gli esponenti delle singole lettere devono essere tra loro uguali. Per esempio il monomio $\frac{3}{5}a^3bc^2$ è simile a $68a^3bc^2$ e anche a $-0,5a^3bc^2$, ma non è simile a $\frac{3}{5}a^2bc^3$. Due monomi simili che hanno coefficiente opposto si dicono monomi opposti: ad esempio, $-3 a^7 x^2$ e $3 a^7 x^2$ sono opposti.
L’operazione di addizione tra monomi ha come risultato un monomio solo se gli addendi sono monomi simili. In tal caso, il coefficiente della somma di due monomi è la somma dei coefficienti dei singoli addendi, mentre la parte letterale rimane invariata.
Se invece la somma viene effettuata tra monomi non simili, essa si lascia indicata così com’è: si ottiene infatti un polinomio.
Un polinomio è un’espressione algebrica letterale che consiste in una somma algebrica di monomi, detti termini del polinomio. Se tra i termini di un polinomio non sono presenti monomi simili, il polinomio si dice in forma normale o ridotto; se al contrario si presentano dei termini simili, possiamo eseguire la riduzione del polinomio sommando i termini simili. Tutti i polinomi sono quindi riducibili in forma normale. Un polinomio in forma normale può presentare tra i suoi termini un monomio di grado complessivo $0$ che viene comunemente chiamato termine noto. Un polinomio che, ridotto in forma normale, è somma algebrica di due, tre, quattro monomi non nulli si dice rispettivamente binomio, trinomio, quadrinomio.
Vale il principio di identità dei polinomi: due polinomi sono uguali se, e solo se, sono rispettivamente uguali i coefficienti dei termini simili.
Il grado complessivo (o semplicemente grado) di un polinomio è il massimo dei gradi complessivi dei suoi termini.
Il prodotto di un monomio per un polinomio è un polinomio avente come termini i prodotti del monomio per ciascun termine del polinomio. Il prodotto di due polinomi è il polinomio che si ottiene moltiplicando ogni termine del primo polinomio per ciascun termine del secondo polinomio.