Calcolo del dominio di una funzione

Provo a risponderti. L'argomento del logaritmo deve essere sempre maggiore di zero, e fin qui non ci piove. Noto che il termine 6x + 8 è in valore assoluto ( lo capisco dalle barrette in verticale ), e dunque sempre positivo. Allora | 6x + 8 | posso trascurarlo ai fini della mia ricerca, poiché sarà sempre uguale o maggiore di zero. Sposto, allora, l'attenzione su 3x + 5, che può rendere l'argomento negativo o pari a zero. Quindi imposto la seguente disequazione: 3x + 5 > 0; da cui ne risulta: x > - 5/3. Ecco trovato il dominio o campo di esistenza. Questo è il modo in cui io risolverei l'esercizio, tuttavia non dico di essere esente da errori; per cui controlla un attimo se il ragionamento fila. Intanto, saluti e buona giornata.

Ciao Fab! Come giustamente dice Apollonio, per le condizioni di esistenza l'argomento del logaritmo deve essere strettamente maggiore di zero. Questo ci porta alla disequazione$$ |6x + 8| + 3x + 5 > 0$$Questa è una disequazione con modulo, che ahimè si risolve in un solo modo: bisogna discutere quando l'argomento del modulo cambia di segno e "sdoppiare" una singola equazione in due casi. Spieghiamo questo procedimento qui: https://library.weschool.com/lezione/valore-assoluto-disequazioni-modulo-esercizi-svolti-risoluzione-13086.html. Purtroppo la soluzione suggerita da Apollonio non funziona: se per esempio proviamo a prendere $x = -2$, che dovrebbe essere incluso nella sua soluzione, otteniamo $| - 12 + 8 | -6 + 5 = | -4 | -1 = 4 - 1 = 3$, che è un numero positivo, quindi accettabile per essere argomento di un logaritmo. Indaghiamo quindi il segno di $6x + 8$: scopriamo che per $x > - \ ^4/_3$ è positivo, mentre per $ x < - \ ^4/_3 $ è negativo. La disequazione quindi è equivalente a:$$ \begin{cases} x > - \ ^4/_3 \\ (6x + 8) + 3x + 5 > 0 \end{cases} \ \cup \ \begin{cases} x < - \ ^4/_3 \\ -(6x + 8) + 3x + 5 > 0 \end{cases}$$Le disequazioni sono di facile risoluzione (sono di primo grado), e siamo davvero fortunati: entrambi i sistemi sono identicamente soddisfatti. In definitiva, il dominio della tua funzione è tutto $\mathbb{R}$! Spero sia tutto chiaro, se hai dubbi chiedi pure :D Ciao e buona giornata.

Riferito a Giovanni. - Grazie per avermi corretto e completato .... Io ci ho provato, e grazie per il "mi piace" .... Lo prendo come un incoraggiamento a migliorare !! ----- Riferito a Fab A. - Scusami se ti ho fatto perdere tempo e grazie anche a te !! - Apollonio Rodio 22 Settembre 2016

Grazie mille, gentilissimo! Ottengo x<-4/3 e x>-4/3 quindi sarebbe tutto R. Ma nella risoluzione dei due sistemi, l'argomento del modulo va posto da una parte minore di zero e dall'altra maggiore/uguale, oppure solo maggiore?

Scusatemi, ma non sono molto pratica con il sito!