In questa lezione abbiamo definito cos’è il valore assoluto, e abbiamo anche visto come si risolve un'equazione che ne contiene almeno uno. Adesso vogliamo invece analizzare le disequazioni con valore assoluto, in cui compariranno uno o più moduli contenenti l’incognita della disequazione.
Disequazioni con un solo valore assoluto
Prima di spiegare la regola generale, partiamo direttamente da un esercizio. Consideriamo la disequazione: $$|x-2| < 3x+1$$Come per quanto accadeva nelle equazioni con il valore assoluto, possiamo distinguere due casi: a seconda che $x-2 \geq 0$ o che $x-2 < 0$, possiamo riscrivere $|x-2|$ in maniera differente. Otteniamo quindi i sistemi di disequazioni di primo grado: $$ \begin{cases} x-2 \geq 0 \\ x-2 < 3x+1 \end{cases} \quad \cup \quad \begin{cases} x-2 < 0 \\ 2-x < 3x+1 \end{cases} $$L'unione delle soluzioni dei due sistemi è l’insieme delle soluzioni della disequazione di partenza.
Risolviamo il primo sistema: $$ \begin{cases} x-2 \geq 0 \\ x-2 < 3x+1 \end{cases} \ \ \Rightarrow \ \ \begin{cases} x \geq 2 \\ x-3x < 2+1 \end{cases} \ \ \Rightarrow \ \ \begin{cases} x \geq 2 \\ x > -\frac{3}{2} \end{cases}$$L’insieme delle soluzioni è quindi $x \geq 2$.
Il secondo sistema invece si risolve così: $$ \begin{cases} x-2 < 0 \\ 2-x < 3x+1 \end{cases} \ \ \Rightarrow \ \ \begin{cases} x < 2 \\ -x-3x < -2+1 \end{cases} \ \ \Rightarrow \ \ \begin{cases} x < 2 \\ x > \frac{1}{4} \end{cases}$$L’insieme delle soluzioni è dato da $\frac{1}{4} < x < 2$.
Unendo le soluzioni dei due sistemi otteniamo la soluzione generale della disequazione: $$S: x \geq 2 \vee \frac{1}{4} < x < 2 \quad \Rightarrow \quad S : x > \frac{1}{4}$$
Possiamo stabilire facilmente una regola generale per risolvere esercizi di questo genere.
Consideriamo una disequazione con valore assoluto che possa essere ricondotta in una di queste forme: $$|A(x)| < B(x), \quad |A(x)| \leq B(x), \quad |A(x)| > B(x), \quad |A(x)| \geq B(x)$$con $A(x), B(x)$ espressioni generiche contenente l’incognita $x$. Allora l’insieme delle soluzioni di questa disequazione sono date dall’unione degli insiemi delle soluzioni di questi due sistemi di disequazioni: $$\begin{cases} A(x) \geq 0 \\ A(x) \lesseqgtr B(x) \end{cases} \quad \cup \quad \begin{cases} A(x) < 0 \\ -A(x) \lesseqgtr B(x) \end{cases}$$
Vediamo quindi una forte analogia con quanto accadeva per le equazioni contenenti valore assoluto.
Caso particolare: le disequazioni del tipo $|A(x)| \lesseqgtr k$
Quando $B(x) = k$, cioè nel caso in cui $B(x)$ è costantemente uguale a un numero reale $k$, allora la risoluzione della disequazione si semplifica molto. Riassumiamo le soluzioni delle possibili disequazioni che possono capitarci con una tabella:
| $\mathbf{k>0}$ | $\mathbf{k<0}$ | $\mathbf{k=0}$ | |
| $|A(x)| < k$ | $-k<A(x)<k$ | Impossibile | Impossibile |
| $|A(x)| \leq k$ | $-k\leq A(x)\leq k$ | Impossibile | $A(x) = 0$ |
| $|A(x)| > k$ | $A(x) < -k \vee$ $A(x) > k$ | Sempre vera | Vera per $A(x) \neq 0$ |
| $|A(x)| \geq k$ | $A(x) \leq -k \vee$ $A(x) \geq k$ | Sempre vera | Sempre vera |
Disequazioni con due o più valori assoluti
Come nel caso delle equazioni con due o più valori assoluti, per risolvere una disequazione di questo tipo bisogna prima impostare uno schema che illustra come riscrivere ciascun modulo in base al valore che può assumere $x$.
Prendiamo ad esempio la disequazione: $$|2x-1| + |3-x| \leq 4x+4 $$Abbiamo che: $$|2x-1| = \begin{cases} 2x-1 & \ \text{se $2x-1 \geq 0$} \\ -(2x-1) & \ \text{se $2x-1 < 0$} \end{cases} \ \Rightarrow \ |2x-1| = \begin{cases} 2x-1 & \ \text{se $x \geq \frac{1}{2}$} \\ -2x+1 & \ \text{se $x < \frac{1}{2}$} \end{cases} $$e anche: $$|3-x| = \begin{cases} 3-x & \quad \text{se $3-x \geq 0$} \\ -(3-x) & \quad \text{se $3-x < 0$} \end{cases} \quad \Rightarrow \quad |3-x| = \begin{cases} 3-x & \quad \text{se $x \leq 3$} \\ -3+x & \quad \text{se $x > 3 $} \end{cases}$$Possiamo costruire uno schema per riassumere la situazione:
A questo punto possiamo dire che risolvere la disequazione di partenza è come risolvere l’unione di questi tre sistemi: $$\begin{cases} -2x+1+3-x \leq 4x+4 \\ x < \frac{1}{2} \end{cases} \cup \ \begin{cases} 2x-1+3-x \leq 4x+4 \\ \frac{1}{2} \leq x \leq 3 \end{cases} \cup \ \begin{cases} 2x-1-3+x \leq 4x+4 \\ x > 3 \end{cases}$$che, svolgendo i conti, diventano: $$ \begin{cases} x \geq 0 \\ x < \frac{1}{2} \end{cases} \quad \cup \quad \begin{cases} x \geq -\frac{2}{3} \\ \frac{1}{2} \leq x \leq 3 \end{cases} \quad \cup \quad \begin{cases} x \geq -8 \\ x > 3 \end{cases}$$Il primo sistema ha soluzione $S_1: 0 \leq x < \frac{1}{2}$, il secondo $S_2: \frac{1}{2} \leq x \leq 3$ mentre il terzo $S_3 : x > 3$: Quindi l’unione di questi insiemi, che è la soluzione della disequazione di partenza, è $S: x \geq 0$.
Ricapitolando quanto abbiamo fatto, possiamo stabilire un metodo generale per affrontare le disequazioni con più di un valore assoluto, che è del tutto analogo a quello utilizzato per risolvere le equazioni di questa tipologia.
- Analizzare ciascun valore assoluto separatemente, per capire come si può riscrivere senza utilizzare il modulo.
- Riassumere l’analisi ottenuta in uno schema, che indica come poter riscrivere ciascun valore assoluto in funzione del valore che assume $x$.
- Costruire i sistemi che tengano conto di quanto ottenuto al punto precedente; cioè, costruire un sistema per ogni intervallo determinato nello schema dei moduli, contenente la disequazione di partenza riscritta in maniera opportuna.
- Risolvere ciascun sistema e unire le soluzioni ottenute.