Quando siamo di fronte a un sistema di equazioni, ciò che facciamo è sostanzialmente confrontare gli insiemi delle soluzioni di tutte le equazioni che sono presenti nel sistema, per trovare poi quali tra esse sono in comune.
Applichiamo lo stesso procedimento logico quando siamo di fronte a un sistema di disequazioni: un sistema di questo tipo è, infatti, un insieme di due o più disequazioni che devono essere verificate contemporaneamente. Eccone un esempio: $$ \begin{cases} 3x+5 -4(7-x) \leq 4x+1 \\ x^2 + 3x+2 >0 \\ \dfrac{3x-1}{2+x} < 6x \end{cases} $$Notiamo che, generalmente, un sistema di disequazioni è costituito da due o più disequazioni che contengono una sola incognita. Questa è una differenza sostanziale rispetto ai sistemi di equazioni, che solitamente sono costituiti da equazioni a due o più incognite. In ogni caso nessuno ci vieterebbe di considerare sistemi di disequazioni a più incognite, ma non affronteremo quella tipologia di esercizio in questa lezione.
Ciascuna disequazione a una incognita ha un insieme delle soluzioni costituito da uno o più intervalli. Da questo possiamo intuire che l’insieme delle soluzioni di un sistema di disequazioni è della stessa forma, perché consisterà dell’intersezione tra gli insiemi delle soluzioni (e quindi tra gli intervalli) associati a ciascuna disequazione del sistema. Anche qui c’è quindi una differenza tra i sistemi di disequazioni e i sistemi di equazioni (che generalmente hanno insiemi delle soluzioni costituiti da “punti” e non da intervalli).
Come risolvere un sistema di disequazioni
Il procedimento per risolvere un sistema di disequazioni è riconducibile a due passaggi:
- risolvere le disequazioni assegnate e determinarne gli insiemi delle soluzioni;
- determinare l’insieme delle soluzioni del sistema, confrontando con lo schema delle soluzioni quelle trovate al passaggio precedente.
Vediamo direttamente con un esempio pratico come applicare questo metodo. Consideriamo il sistema di disequazioni mostrato poco fa: $$ \begin{cases} 3x+5 -4(7-x) \leq 4x+1 \\ x^2 + 3x+2 >0 \\ \dfrac{3x+2}{2+x} < x \end{cases} $$
- Risolviamo singolarmente ciascuna delle disequazioni del sistema. La prima è una disequazione di primo grado, che si risolve così:
##KATEX##\begin{aligned}3x+5 -4(7-x) & \leq 4x+1 \\3x+5-28+4x & \leq 4x+1 \\3x & \leq 24 \\x & \leq 8\end{aligned}##KATEX##
La seconda è invece una disequazione di secondo grado; applicando il metodo risolutivo troviamo che l’insieme delle soluzioni è dato da: $$x < -2 \quad \vee \quad x>-1$$La terza disequazione è una disequazione frazionaria, dato che compare la $x$ al denominatore. Dopo aver posto le condizioni di esistenza (che consistono in $x \neq 2$), otteniamo:
##KATEX##\begin{aligned}\frac{3x+2}{2+x} < x \\\frac{3x+2-x(2+x)}{2+x} < 0 \\\frac{-x^2 + x+2}{2+x} < 0 \\\frac{x^2 - x-2}{2+x} > 0\end{aligned}##KATEX##
Dopo aver analizzato numeratore e denominatore otteniamo questo schema dei segni:
Da qui deduciamo che l’insieme delle soluzioni di questa disequazione è: $$-2<x<-1 \quad \vee \quad x > 2.$$In conclusione il nostro sistema di disequazioni è equivalente al seguente: $$\begin{cases} x \leq 8 \\ x < -2 \vee x>-1 \\ -2<x<-1 \vee x > 2 \end{cases} $$ - A questo punto possiamo procedere con la costruzione dello schema delle soluzioni. Tracciamo la retta dei numeri reali e segnamo su di essa i punti "notevoli" relativi alle soluzioni delle disequazioni:
Sotto alla linea dei numeri tracciamo delle linee che rappresentano le soluzioni delle disequazioni del sistema. Nel nostro caso, dato che le disequazioni sono $3$, utilizzeremo tre righe distinte all’interno dello schema per rappresentarle. La regola che seguiamo è la seguente: in corrispondenza delle soluzioni tracciamo una linea continua, avendo cura di disegnare un “pallino pieno” negli estremi che sono compresi nell’intervallo che stiamo considerando.
La soluzione del sistema consiste negli intervalli dove tutte e tre le disequazioni sono soddisfatte, che graficamente si traduce nel cercare gli intervalli dove tutte e tre le disequazioni hanno una linea tracciata al suo interno. Guardando lo schema vediamo che questa condizione è soddisfatta solo tra $2$ e $8$. Inoltre notiamo che il numero $8$ è una soluzione per tutte e tre le disequazioni, dato che le ultime due disequazioni hanno una linea continua e la prima ha invece il “pallino pieno” in $8$. Invece, il numero $2$ non è una soluzione per il sistema: nonostante le prime due disequazioni siano verificate in $2$, l’ultima ha un “pallino vuoto” in corrispondenza di tale valore, e quindi non è una soluzione accettabile.
La soluzione del sistema è allora la seguente: $$S: -2 < x \leq 8.$$
ATTENZIONE: lo schema delle soluzioni di un sistema di disequazioni non deve essere confuso con lo schema dei segni di una disequazione fratta, nonostante siano molto simili. Infatti nel primo caso stiamo intersecando le soluzioni di due o più disequazioni, mentre nel secondo si studia il segno di una frazione: sono procedimenti concettualmente molto differenti!
Per acquistare ancora più dimestichezza con questo procedimento, potete guardare questo video, nel quale abbiamo svolto un altro sistema di disequazioni.