L’insieme dei numeri interi relativi può essere visto come un “naturale completamento” dei numeri naturali: gli interi negativi sono ciò che manca a $\mathbb{N}$ per far sì che la sottrazione tra due suoi elementi abbia sempre un risultato. Cosa succede se proviamo a utilizzare operazioni diverse dalla sottrazione?
Scegliamo $\mathbb{Z}$ come insieme in cui lavorare, e chiediamoci cosa succede quando proviamo a fare la divisione $a:b$ tra due numeri $a, b \in \mathbb{Z}$. Abbiamo fondamentalmente tre casi:
- la divisione tra $a$ e $b$ è esatta, ovvero, $a$ è un multiplo di $b$. In questo caso $a:b = c$ dove $c \in \mathbb{Z}$;
- la divisione tra $a$ e $b$ non è esatta, e $a:b$ non dà un risultato contenuto in $\mathbb{Z}$; riusciamo al massimo a trovare due interi - il quoziente $q$ e il resto $r$ della divisione - che soddisfano la relazione $a = b \cdot q + r$.
- quando $b=0$ non è proprio possibile svolgere l’operazione, dato che non esiste alcun numero che moltiplicato per $0$ dia $a$ (il risultato sarà sempre e comunque $0$).
Facciamo due esempi per il primo e il secondo caso, rispettivamente: l’operazione $(-8) : 2$ dà come risultato $-4$, mentre se proviamo a risolvere $37:3$ otteniamo il quoziente $q=12$ con resto $r=1$.
Definizione
L’insieme ottenuto a partire da $\mathbb{Z}$ ottenuto “aggiungendo” tutti i possibili risultati della divisione tra due numeri interi (a patto che il secondo non sia $0$) è detto insieme dei numeri razionali, e viene indicato con $\mathbb{Q}$.
In maniera un po’ più rigorosa, possiamo definire $\mathbb{Q}$ come l’insieme dei numeri della forma $$ a:b \equiv \frac{a}{b} \quad \forall \text{ }a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0$$ossia come l’insieme delle frazioni tra numeri interi. Il numero $a$ viene detto numeratore della frazione, e $b$ è invece il denominatore.
Facciamo alcune osservazioni:
- di solito, considereremo uguali due numeri razionali $\frac{a}{b}$ e $\frac{c}{d}$ tali che $c = n\cdot a$ e $d= n \cdot b$, dove $n \in \mathbb{Z}$. Per esempio $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ (in questo caso $n = 3$) ma anche $\frac{3}{4} = \frac{-6}{-8}$ ($n = -2$);
- tutte le frazioni con denominatore uguale a $1$ sono identificabili con il numeratore, ovvero con un numero intero. In questo senso possiamo pensare a $\mathbb{Z}$ come a un sottoinsieme proprio di $\mathbb{Q}$;
- l’insieme $\mathbb{Q}$ è un insieme infinito numerabile (anche se può sembrare molto più “grande” di $\mathbb{N}$, che è comunque un suo sottoinsieme proprio) ed è anche ordinato;
- la divisione per $0$ è un problema in $\mathbb{Z}$ e rimane tale anche in $\mathbb{Q}$ (ed è destinata a rimanere un'operazione impossibile da svolgere anche in contesti ben più generali).
Aggiungiamo inoltre che ciascun numero razionale può essere espresso anche in notazione decimale.
L’insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$
Ora che abbiamo costruito $\mathbb{Q}$, possiamo ritenerci soddisfatti? Apparentemente, questo nuovo insieme ha risolto tutti i problemi che ci si potevano presentare: le operazioni di somma, sottrazione, divisione e moltiplicazione tra due elementi di $\mathbb{Q}$ hanno sempre risultato in $\mathbb{Q}$, a patto che non si divida per $0$. Siamo quindi autorizzati a fermarci qui?
Prendiamo la seguente somma di numeri razionali: $1 + \frac{1}{4}$. Il risultato è $\frac{5}{4}$, che è un numero razionale. Aggiungiamo un termine alla somma: $1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9}$ e di nuovo abbiamo un numero razionale come risultato: $\frac{49}{36}$. Chiaramente se andiamo avanti aggiungendo un numero razionale alla volta, otterremo sempre un numero razionale come risultato della somma; ma se consideriamo la somma infinita $$s = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \ldots + \frac{1}{n^2} + \frac{1}{(n+1)^2} + \ldots $$ allora non siamo certi di quale risultato questa possa avere. In effetti, si può dimostrare che accadono due cose sorprendenti:
- nonostante la somma sia composta da infiniti addendi, $s$ è un numero finito;
- $s$ non appartiene a $\mathbb{Q}$.
È quindi chiaro che esistono altri numeri oltre a quelli contenuti in $\mathbb{Q}$, ottenibili a partire da essi solamente utilizzando la semplicissima operazione della somma!
Senza andare troppo nel dettaglio, diremo soltanto che per esempio i numeri come $$\sqrt{2}, \quad \pi, \quad \sqrt[3]{47}, \quad \phi, \quad e$$ e anche il numero $s$ trovato prima sono tutti numeri irrazionali, ovvero: non possono essere espressi come rapporto tra numeri interi. Specifichiamo che i numeri $\pi, \phi, e$ prima indicati sono rispettivamente il pi greco (costante matematica ampiamente utilizzata nelle formule relative al cerchio), il rapporto aureo e il numero di Nepero.
Si può inoltre dimostrare che tutti i numeri che hanno parte decimale non periodica - cioè, che non contiene porzioni che si ripetono con regolarità - non sono elementi di $\mathbb{Q}$, ma sono appunto numeri irrazionali.
Definizione
L’insieme costituito dall’unione dei numeri razionali e dei numeri irrazionali è detto insieme dei numeri reali. Esso viene indicato con $\mathbb{R}$.
Le proprietà dei numeri reali sono le seguenti:
- è il più “semplice” esempio di insieme infinito non numerabile, ovvero tale per cui non è possibile contare i suoi elementi, ovvero non è possibile mettere i suoi elementi in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali;
- è ordinato;
- tra ogni coppia di numeri razionali è sempre possibile trovare un altro numero reale (razionale o irrazionale) compreso tra i due. Questa proprietà viene detta densità di $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$.
I numeri reali vengono rappresentati come i punti di una retta. Questa rappresentazione risulta particolarmente efficace: non è possibile trovare il “punto successivo” di un qualsiasi punto di una retta, nè se ne possono contare i punti (questa caratteristica della retta riflette il fatto che $\mathbb{R}$ è infinito non numerabile).
I numeri reali $\mathbb{R}$ costituiscono l’insieme più grande entro il quale solitamente (almeno, negli anni delle superiori) si svolgono tutte le operazioni e si risolvono i problemi. Tuttavia, è possibile ampliare ulteriormente l’insieme ambiente entro cui lavorare, passando ai numeri complessi $\mathbb{C}$, e anche oltre.
Illustriamo infine la relazione tra i vari insiemi numerici con un diagramma di Eulero-Venn.
Revisione scientifica a cura di Marco Guglielmino