Studiando le equazioni di secondo grado $ax^2+bx+c=0$, con $a, b, c \in \mathbb{R}$, si incontrano casi in cui esse non ammettono soluzioni in $\mathbb{R}$, come dire che l'insieme dei numeri reali non è sufficientemente "grande" da permettere la risoluzione di tali equazioni. Per risolvere questo problema si intuisce quindi che bisogna costruire un insieme di numeri più grande di $\mathbb{R}$; si può mostrare che per questo scopo è sufficiente considerare $\mathbb{R}$ e aggiungere il "numero" $i$, detta unità immaginaria, e considerare tutti i “numeri” del tipo $a+ib$, con $a$ e $b$ numeri reali. L’insieme così ottenuto si indica generalmente con $\mathbb{C}$ ed è chiamato campo complesso.
Vediamo adesso tutte le definizioni in maniera più formale.
Definizione
Si definisce unità immaginaria e si indica con $i$ un numero (non reale) tale che $i^2=-1$.
Definizione
Si dice numero complesso e si indica generalmente con $z$, ogni elemento del tipo $z=a+ib$ con $a,b \in \mathbb{R}$ e $i$ unità immaginaria. Un elemento della forma $ib$ con $b \in \mathbb{R}$ è detto invece numero immaginario.
Quando un numero complesso $z$ è dato nella forma $a+ib$ si dice che è in forma algebrica. In particolare $a$ è detta parte reale di $z$ (e si scrive $a=\text{Re}(z)$) e $b$ è detta parte immaginaria di $z$ (e scriviamo $b=\text{Imm}(z)$).
Dalla definizione che abbiamo appena dato si vede che un numero complesso $z$ è completamente identificato dalla coppia di numeri $(a,b) = (\text{Re}(z), \text{Imm}(z))$. Possiamo interpretare questa coppia di numeri come le coordinate di un punto sul piano cartesiano:
Il piano cartesiano che utilizziamo per rappresentare i numeri complessi è detto piano di Argand-Gauss: l'asse $x$ è detto asse reale e l'asse $y$ invece è l'asse immaginario. Grazie a questa nuova rappresentazione i numeri complessi in forma algebrica vengono anche detti in forma cartesiana.
Operazioni tra numeri complessi in forma algebrica
Se vogliamo lavorare con i numeri complessi, abbiamo bisogno di definire nuovamente le quattro operazioni in $\mathbb{C}$, in modo che restringendoci ai numeri reali le "vecchie" operazioni siano mantenute inalterate.
Definizione
La somma tra due numeri complessi $z,w \in \mathbb{C}$ con $z=a+ib$ e $w=c+id$ è definita come segue: \[z+w=(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d).\]Possiamo quindi dire che la somma di $z$ e $w$ è un numero complesso che ha come parte reale la somma delle parti reali di $z$ e $w$, e come parte immaginaria la somma delle parti immaginarie di $z$ e $w$.
Per esempio, dati $z=2+3i$ e $w=4-2i$ la loro somma è $$z+w=(2+3i)+(4-2i)=(2+4)+i(3-2)=6+i.$$
Definizione
La differenza tra due numeri complessi $z,w \in \mathbb{C}$ è definita come segue: \[z-w=(a+ib)-(c+id)=(a-c)+i(b-d).\]Possiamo anche dire che la differenza tra $z$ e $w$ ha come risultato la somma tra $z$ e $-w$.
Facciamo un esempio: dati $z=1+4i$ e $w=2+i$ la loro differenza è $$ z-w=(1+4i)-(2+i)=(1-2)+i(4-1)=-1+3i.$$
Definizione
Il prodotto tra due numeri complessi $z,w \in \mathbb{C}$ è definito come segue: \[z\cdot w=(a+ib) \cdot (c+id)= a\cdot c- b \cdot d+i(a \cdot d+ b \cdot c).\]Vale la pena di sottolineare che la parte reale (o immaginaria) di $z \cdot w$ non è il prodotto delle parti reali (o immaginarie) di $z$ e $w$.
Svolgiamo un esempio. Prendiamo $z=2+3i$ e $w=4-2i$: il loro prodottto è $$ z \cdot w=(2+3i)\cdot (4-2i)=8-4i+12i-6i^2=14+8i.$$
Esistono anche delle operazioni (nello specifico, la coniugazione, il modulo e l’inversione di un numero complesso) che sono definite a partire da un solo numero complesso $z$.
Definizione
Dato un numero complesso $z=a+ib \in \mathbb{C}$ si definisce il complesso coniugato di $z$ il numero complesso $\overline{z}=a-ib$.
Tale numero corrisponde nel piano di Argand-Gauss al punto $(a,-b)$, simmetrico del punto $(a,b)$ rispetto all'asse reale.
Definizione
Dato $z=a+ib \in \mathbb{C}$ si definisce modulo di $z$ il numero \[ \lvert z \rvert= \sqrt{a^2+b^2}.\]
Per definizione, il modulo di un numero complesso è sempre maggiore o uguale a zero, ovvero $|z| \geq 0$ $\forall z \in \mathbb{C}$. Tale numero, inoltre, corrisponde alla lunghezza del vettore avente come estremi l'origine degli assi del piano di Argand-Gauss e il punto $P=(a,b)$.
Definizione
Sia $z \in \mathbb{C}$ si definisce l'inverso di $z$, e si indica con $z^{-1}$, il numero complesso $\frac{\overline{z}}{|z|^2}$.
Si verifica facilmente che $$z^{-1} \cdot z=\frac{\overline{z}}{\lvert z \rvert^2} \cdot z=\frac{(a-ib)(a+ib)}{a^2+b^2}=1$$ e analogamente che $z \cdot z^{-1}=z \cdot \frac{\overline{z}}{\lvert z \rvert^2}=1$. Questo giustifica il nome “inverso” per $z^{-1}$ (si tratta infatti dell’inverso rispetto al prodotto tra numeri complessi).
Per acquisire familiarità con questa operazione, facciamo un esempio. Prendiamo $z=1+i$: si ha che $\lvert z \rvert^2=2$ e $\overline{z}=1-i$, quindi l'inverso di $z$ è $$z^{-1} = \frac{1-i}{2} = \frac{1}{2} + \left ( -\frac{1}{2} \right ) i.$$
Proprietà dei numeri complessi
In questo paragrafo elenchiamo brevemente alcune proprietà di cui godono i numeri complessi, la cui dimostrazione è riconducibile a un semplice esercizio di calcolo con le operazioni definite poco fa.
Per $z \in \mathbb{C}$ e $\alpha \in \mathbb{R}$ valgono le seguenti proprietà:
- $ \lvert \alpha \cdot z \rvert=|\alpha|\cdot \lvert z \rvert$
- $\overline{\alpha \cdot z}=\alpha \overline{z}.$
Inoltre per $z, w \in \mathbb{C}$ valgono le seguenti proprietà:
- $\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$
- $\overline{z-w}=\overline{z}-\overline{w}$
- $\overline{z \cdot w}=\overline{z}\cdot \overline{w}$
- $z \cdot \overline{z}=\lvert z \rvert^2$
- $z+\overline{z}=2a$
- $z-\overline{z}=2bi$
Forma trigonometrica dei numeri complessi
Abbiamo visto che un numero complesso $z=a+ib$ è individuato nel piano di Argand-Gauss da un punto $P=(a,b)$. Tale punto può anche essere rappresentato utilizzando le coordinate polari, che sono la distanza di $P$ dall'origine $O$ del piano di Argand-Gauss, che indicheremo con $\rho$, e l'angolo $\theta$ compreso tra il semiasse positivo delle ascisse e la semiretta $OP$.
Il punto $P$ è quindi indicato dalle coordinate polari $(\rho, \theta)$ e dalle formule di conversione tra coordinate polari e coordinate cartesiane otteniamo:\[a=\rho \cos \theta \qquad b=\rho \sin \theta\]con $\rho \geq 0$ e $0 \leq \theta < 2\pi$.
Definizione
La forma trigonometrica del numero complesso $z$ è la scrittura del numero $z=a+ib$ utilizzando le sue coordinate polari nel piano di Argand-Gauss:
\[z=\rho(\cos \theta+i \sin \theta)\] con $\rho \geq 0$ e $0 \leq \theta < 2\pi$.
Ora, dato un numero complesso nella forma trigonometrica, ossia noti $\rho$ e $\theta$, la sua forma algebrica si ricava dalle formule $$a=\rho \cos \theta \qquad b=\rho \sin \theta$$viste precedentemente. Viceversa, nota la forma algebrica di $z$, la sua forma trigonometrica si ricava utilizzando le formule inverse di conversione tra coordinate polari e cartesiane:$$\rho = \sqrt{a^2+b^2} \qquad \theta = \arctan \frac{b}{a} + t\pi$$dove $t$ può essere $0$ o $1$ a seconda del segno di $a$ e $b$.
Vediamo come funzionano nella pratica queste formule di conversione. Prendiamo un numero complesso espresso in forma trigonometrica:$$z = 4 \left ( \cos \left ( \frac{3}{4}\pi \right ) + i\sin \left ( \frac{3}{4}\pi \right ) \right )$$Allora in questo caso $\rho=4$ e $\theta=\frac{3}{4}\pi$ e si ha che $$a=4 \cos \frac{3}{4}\pi=-2 \sqrt{2}, \qquad b=4 \sin \frac{3}{4} \pi=2 \sqrt{2}$$Adesso possiamo riscrivere $z$ in forma algebrica: $$z=-2\sqrt{2}+i2 \sqrt{2}=2 \sqrt{2}(-1+i).$$
Invece, consideriamo un numero complesso in forma algebrica: $$w = 1+i\sqrt{3}$$Allora in questo caso $a=1, b=\sqrt{3}$: quindi $$\rho=\sqrt{1+3}=2, \qquad \tan \theta = \sqrt{3}$$da cui si ottiene (osservando che $a, b > 0$) che $\theta=\frac{\pi}{3}$. In conclusione possiamo scrivere $w$ in forma trigonometrica: $$w=2 \left ( \cos \frac{\pi}{3}+i \sin \frac{\pi}{3} \right ).$$
Forma esponenziale dei numeri complessi
La forma esponenziale di un numero complesso è sostanzialmente la riscrittura della sua forma trigonometrica in maniera più compatta. La definizione della forma esponenziale si basa sulla seguente importantissima identità.
Teorema (formula di Eulero): Per ogni $y \in \mathbb{R}$, vale la seguente uguaglianza:\[e^{iy}=\cos y+i\sin y.\]
Non forniremo la dimostrazione di questa formula; è comunque importante notare che questa relazione, sostanzialmente, mostra che esiste un legame profondo tra la funzione esponenziale con base $e$, il numero di Nepero, e le funzioni trigonometriche, quando ragioniamo all’interno del campo complesso.
A questo punto possiamo definire la forma esponenziale dei numeri complessi. Dato il numero complesso in forma trigonometrica $z=\rho (\cos \theta + i\sin \theta)$ applichiamo la formula di Eulero per esprimere la quantità tra le parentesi: $$\cos \theta + i\sin \theta = e^{i \theta}$$La forma esponenziale di $z$ è allora semplicemente $$z=\rho e^{i \theta}.$$
Per esempio, prendiamo un numero complesso in forma trigonometrica: $$z=2 \left ( \cos \frac{3\pi}{4}+i \sin \frac{3 \pi}{4} \right )$$Allora la sua forma esponenziale è $$z=2e^{\frac{3\pi}{4}}.$$
Prodotto e potenze di numeri complessi in forma trigonometrica e esponenziale
Quando abbiamo a che fare con due numeri complessi scritti in forma trigonometrica si riesce a calcolarne molto più velocemente il prodotto. Infatti, sfruttando le formule trigonometriche di addizione e sottrazione, è possibile dimostrare le seguenti relazioni: se $z=r(\cos \theta+i \sin \theta)$ e $w=s(\cos \beta+i \sin \beta)$ si ha che
- $z \cdot w=r \cdot s (\cos (\theta+\beta)+i \sin (\theta+\beta))$
- $\frac{z}{w}=\frac{r}{ s} (\cos (\theta-\beta)+i \sin (\theta-\beta)).$
La formula del prodotto tra numeri complessi può essere utilizzata ricorsivamente per dimostrare il seguente risultato.
Teorema (di de Moivre): La potenza $n$-esima del numero complesso $z=\rho(\cos \theta+ i\sin \theta$ è data dalla fomula seguente:
\[z^n=\rho^n (\cos n\theta+i \sin n\theta).\]
Per capire l’importanza di questo teorema, affrontiamo questo esercizio. Supponiamo di voler calcolare $(-1+i)^6$. Si ha che $a=-1, b=1$ quindi $\rho=\sqrt{2}, \tan \theta=-1$; dato che $a < 0, b > 0$ si deduce che $\theta=\frac{3\pi}{4}$. Quindi $z=\sqrt{2}\left ( \cos \frac{3\pi}{4}+i\sin \frac{3\pi}{4} \right ) $. Per il teorema di de Moivre si ha che ##KATEX##\begin{aligned}z^6 & = \left ( \sqrt{2} \right )^6 \left ( \cos \left ( 6 \cdot \frac{3\pi}{4} \right ) + i \sin \left ( 6 \cdot \frac{3\pi}{4} \right ) \right ) = \\& = 2^3 \left ( \cos \frac{9\pi}{2}+i\sin \frac{9\pi}{2} \right ) = \\& = 8 \left ( \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} \right ) = 8i\end{aligned}##KATEX##Vale la pena di riflettere su questo: se avessimo deciso di affrontare l’esercizio utilizzando solamente la forma algebrica dei numeri complessi, avremmo dovuto applicare sei volte di fila la definizione di prodotto tra numeri complessi in forma algebrica, e il processo sarebbe stato molto laborioso e decisamente più lungo da svolgere.
Prendiamo adesso due numeri complessi in forma esponenziale: $z_1=\rho_1 e^{i \theta_1}, z_2=\rho_2 e^{i \theta_2}$. Le relazioni ottenute prima possono essere riformulate in questo modo:
- $z_1 \cdot z_2=\rho_1 e^{i \theta_1} \cdot \rho_2 e^{i \theta_2} = \rho_1 \cdot \rho_2 e^{i (\theta_1+\theta_2)}$
- $\frac{z_1 }{ z_2}=\frac{\rho_1 e^{i \theta_1}}{\rho_2 e^{i \theta_2}} = \frac{\rho_1 }{ \rho_2} e^{i (\theta_1-\theta_2)}$
- $z_1^n= \left ( \rho_1 e^{i \theta_1} \right )^n = \rho_1^n e^{i (n\theta_1)}$.
Le formule appena ottenute mostrano come l’esponenziale complesso segua le proprietà delle potenze (che normalmente sono definite per base ed esponente reale). Questo fa capire quindi come la forma esponenziale, più compatta rispetto a quella trigonometrica, sia molto pratica quando si ha che fare con prodotti e potenze di numeri complessi.
Le radici di un numero complesso: il Teorema fondamentale dell’Algebra
A partire dal teorema di de Moivre si ricava questo importante risultato.
Teorema (radici $n$-esime di un numero complesso): ogni numero complesso $z=\rho(\cos \theta+i \sin \theta)$ non nullo ha esattamente $n$ radici complesse $\omega_0, \dots , \omega_{n-1}$ con
\[\omega_s=\rho_s (\cos \theta_s+i \sin \theta_s) \]
dove \[\rho_s=\sqrt[n]{\rho} \qquad \theta_s=\frac{\theta +2s\pi}{n}\qquad s \in \{0, \ldots, n-1\}.\]Proviamo a utilizzare questo risultato per calcolare le radici quarte di $-1$. Tale numero ha coordinate polari $\theta = \pi$ e $\rho = 1$, quindi in forma trigonometrica si può scrivere così \[-1=1(\cos \pi+ i\sin \pi).\] Allora $\theta_s=\frac{\pi+2s\pi}{4}$ per $s\in \{0, \ldots, 3\}$. Quindi si ha che
##KATEX##\begin{aligned}\omega_0 & =\cos \frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}= \frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2} \\\omega_1 & =\cos \frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2} \\\omega_2 & =\cos \frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2} \\\omega_3 & =\cos \frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\end{aligned}##KATEX##L’esercizio che abbiamo appena risolto mostra indirettamente che l’equazione $z^4+ 1=0$ ammette $4$ soluzioni complesse. Questo è un esempio in cui si vede che il campo complesso è proprio il “completamento” dei numeri reali che cercavamo all’inizio della nostra lezione: limitandoci a $\mathbb{R}$, l’equazione non avrebbe soluzioni, mentre in $\mathbb{C}$ ne ammette $4$, cioè tante quante il grado dell’equazione considerata. Non è un caso che il numero di soluzioni sia proprio $4$: in generale, infatti, vale il seguente importantissimo teorema.
Teorema fondamentale dell'Algebra: ogni polinomio di grado $n \geq 1$ con coefficienti reali, cioè del tipo $$a_nz^n+\dots a_1z+a_0=0, \qquad a_i \in \mathbb{R} \ \forall i \in \{0, \ldots, n\}$$ ammette esattamente $n$ soluzioni in $\mathbb{C}$. Inoltre, le soluzioni non reali sono sempre in numero pari, e tali soluzioni si presentano a coppie di numeri complessi coniugati.
Più in generale, ogni polinomio di grado $n \geq 1$ con coefficienti complessi ammette esattamente $n$ soluzioni in $\mathbb{C}$.