Consideriamo le seguenti equazioni nella variabile $x$:
1. $5x^2+3x=5x$
2. $x^3-x=-2+x^3-2x^2$
3. $x^2+x-5=x^2$
Come nel caso delle equazioni di primo grado, possiamo sempre applicare il primo principio di equivalenza e le sue conseguenze. In particolare, possiamo portare al primo membro delle equazioni (quello a sinistra dell'uguale) tutti i termini presenti al secondo membro (quelli a destra dell'uguale), ricordandoci di cambiarne il segno. Otteniamo:
- $5x^2+3x-5x=0$, cioè $5x^2-2x=0$
- $x^3-x+2-x^3+2x^2=0$, cioè $2x^2-x+2=0$
- $x^2+x-5-x^2 = 0$, cioè $x-5=0$
Osserviamo bene le equazioni di partenza e quelle che abbiamo ottenuto. Ci accorgiamo che:
- la prima equazione ha sempre come monomio di grado massimo $5x^2$, che è di secondo grado;
- la seconda equazione nella sua forma iniziale sembrava di terzo grado (per la presenza del monomio $x^3$), ma nella sua forma finale ha come monomio di massimo grado $2x^2$, che è ancora di secondo grado;
- la terza equazione nella sua forma iniziale sembrava di secondo grado (per la presenza del monomio $x^2$), ma nella sua forma finale ha come monomio di massimo grado $x$, che è di primo grado.
Ma allora… di che grado sono le equazioni date? Per evitare ogni dubbio, si sceglie di determinare il grado di un'equazione nella sua forma più semplificata possibile (nel nostro caso quella finale).
Definizione
Un'equazione è ridotta in forma normale se è scritta come l'uguaglianza tra un polinomio e zero, e non è più possibile eseguire semplificazioni tra i monomi che compongono il polinomio.
Per determinare il grado di un'equazione bisogna quindi scriverla in forma normale, e poi determinare il grado massimo dei monomi in essa presenti. Nei nostri esempi, quindi, le prime due equazioni sono di 2° grado, mentre la terza è di 1° grado.
Ci soffermeremo ora in particolare sulle equazioni di secondo grado, per le quali diamo la seguente definizione.
Definizione
Un’ equazione in forma normale nell’incognita $x$ è di 2° grado se ha la forma $$ax^2 + bx + c = 0$$con $a$, $b$, $c$ numeri reali e $a \neq 0$ (altrimenti si ridurrebbe solo all'equazione $bx + c=0$, che è di 1° grado).
I numeri $a$, $b$ e $c$ sono i coefficienti e $c$ è anche detto termine noto.
Consideriamo i nostri esempi:
- $5x^2-2x=0$ è di 2° grado, con coefficienti $a=5$, $b=-2$ e $c=0$;
- $2x^2-x+2=0$ è di 2° grado, con coefficienti $a=2$, $b=-1$ e $c=2$;
- $x-5=0$ non è di 2° grado.
Equazioni pure, spurie e monomie
Quando in un'equazione nessuno dei coefficienti è uguale a zero, l'equazione si dice completa. Altrimenti si dice incompleta.
Vediamo alcuni esempi:
- $4x^2+7x-8=0$ è un'equazione completa, con coefficienti $a=4$, $b=7$ e $c=-8$;
- $7x^2-2=0$ è un'equazione incompleta, perché $b=0$.
Un'equazione di 2° grado incompleta può avere i coefficienti $b$ o $c$ uguali a zero. A seconda dei casi si ottiene un tipo diverso di equazione:
- equazione pura, se $b = 0$ e $c \neq 0$. L’equazione assume quindi la forma $ax^2 + c = 0$;
- equazione spuria, se $b \neq 0$ e $c = 0$. L’equazione assume quindi la forma $ax^2 + bx = 0$;
- equazione monomia, se $b = c = 0$. L’equazione assume quindi la forma $ax^2 = 0$.
Per esempio:
- $-x^2+9=0$ è un'equazione pura, perché $a=-1$, $b=0$ e $c=9$ (quindi $b = 0$ e $c \neq 0$);
- $8x^2-x=0$ è un'equazione spuria, perché $a=8$, $b=-1$ e $c=0$ (quindi $b \neq 0$ e $c = 0$);
- $4x^2=0$ è un'equazione monomia, perché $a=4$, $b=0$ e $c=0$ (quindi $b=c=0$).
Soluzioni di un’equazione di secondo grado
In generale, un’equazione di 1° grado ha sempre una soluzione. Questo significa che esiste sempre un certo numero che, una volta sostituito al posto di $x$ nell’equazione, rende l’uguaglianza vera. Ad esempio, $x-4=2-x$ ha come soluzione $x = 3$, perchè $3-4 = 2-3$.
Cosa succede quando cerchiamo una soluzione di un’equazione di 2° grado? La risposta a questa domanda non è banale, e in realtà - a differenza di quanto accade per le equazioni di 1° grado - dipende dall’equazione che si sta considerando. Vediamo tre esempi:
- $x^2+1=0$
Notiamo che la soluzione di questa equazione dovrebbe essere un numero $x$ che, elevato al quadrato e sommato a $1$, dia come risultato $0$. Dato che il quadrato di un numero non è mai un numero negativo, il numero $x^2+1$ è certamente positivo. In conclusione: questa equazione di secondo grado non ha soluzioni. - $x^2+2x+1=0$
Con un po’ di attenzione, si può notare che il primo membro dell’equazione è uguale a $(x+1)^2$ (abbiamo applicato un prodotto notevole) e dunque l’equazione diventa $(x+1)^2 = 0$. Senza entrare troppo nei dettagli, non è difficile convincersi che l’unica soluzione in questo caso è $x=-1$, dato che $(-1+1)^2 = 0^2 = 0$. Quindi questa equazione ha una sola soluzione. - $x^2-3x+2=0$
Con metodi che vedremo in seguito, è possibile ricavare che questa equazione ha come soluzione $x=1$ (infatti $1-3+2=0$) ma anche $x=2$ (dato che $4-6+2 = 0$). Dunque questa equazione ha due soluzioni.
A questo punto verrebbe spontaneo pensare che un’equazione di 2° grado possa avere anche tre, quattro o più soluzioni: in realtà si mostra che le soluzioni sono sempre al massimo due. Con questa analisi introduttiva, quindi, abbiamo esaurito le possibili situazioni che possono verificarsi quando cerchiamo le soluzioni di un’equazione di 2° grado.
Nella prossima lezione vedremo che, fortunatamente, esiste un metodo per capire univocamente se un’equazione di 2° grado possiede delle soluzioni, e nel caso ne abbia, determinare quali siano.