Ricordiamo che un'equazione di 2° grado in un'incognita può sempre essere scritta nella forma $$ax^2+bx+c=0$$con i coefficienti $a$, $b$ e $c$ reali e $a \neq 0$.
Definizione
Si chiama radice (o soluzione) dell'equazione di secondo grado un valore che, sostituito all'incognita $x$, rende vera l'uguaglianza.
Per esempio, consideriamo l'equazione $7x^2-3x-4=0$.
- Sostituiamo a $x$ il valore $1$ nell'equazione: $7 \cdot 1^2-3\cdot 1-4=0$. Svolgendo i calcoli al primo membro otteniamo $0=0$, che è un'uguaglianza vera. Perciò $x=1$ è soluzione dell'equazione data.
- Sostituiamo a $x$ il valore $-1$ nell'equazione: $7 \cdot (-1)^2-3\cdot (-1)-4=0$. Svolgendo i calcoli al primo membro otteniamo $6=0$, che è un'uguaglianza falsa. Perciò $x=-1$ non è soluzione dell'equazione data.
In generale un'equazione di 2° grado può avere due radici, oppure può averne una, oppure può anche non averne. Indichiamo con $x_1$ e $x_2$ le eventuali radici dell'equazione.
Per risolvere un'equazione di 2° grado basta applicare la seguente formula risolutiva, che non dimostriamo, ma che è importante imparare a memoria: $$x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$Il simbolo $\pm$ significa che la soluzione $x_1$ si ottiene inserendo il segno $+$ prima del simbolo di radice, mentre la soluzione $x_2$ si ottiene inserendo il segno $-$ prima del segno di radice.
Ritorniamo all’equazione $7x^2-3x-4=0$ dell'esempio precedente; abbiamo che $a=7$, $b=-3$ e $c=-4$. Applichiamo la formula risolutiva: $$x_{1,2}=\frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 7 \cdot (-4)}}{2 \cdot 7}=\frac{3\pm 11}{14}$$Allora $x_1=\frac{3+11}{14}=1$ e $x_2=\frac{3-11}{14}=-\frac{8}{14}=-\frac{4}{7}$.
Abbiamo così ritrovato la soluzione che avevamo già individuato, e ne abbiamo trovata anche una seconda. Si può facilmente verificare che anche $x_2=-\frac{4}{7}$ è soluzione, sostituendo il valore nell'equazione iniziale.
Il discriminante
Osservando la formula risolutiva, ci accorgiamo che c'è una quantità sotto radice, e non è detto che questa quantità sia positiva! Le soluzioni dell'equazione di secondo grado esistono, quindi, solo se tale quantità è maggiore o uguale a zero.
Definizione
Data un'equazione di 2° grado $ax^2+bx+c=0$, la quantità $\Delta=b^2-4ac$ si dice discriminante dell'equazione.
Possiamo distinguere tre casi:
- se $\Delta > 0$, l'equazione ha due radici reali $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}$;
- se $\Delta=0$, le due soluzioni coincidono: $x_1=x_2=\frac{-b}{2a}$;
- se $\Delta < 0$, l'equazione non ha radici reali.
Facciamo alcuni esempi.
- Data l'equazione $7x^2-3x-4=0$ dell'esempio precedente, $\Delta=(-3)^2-4\cdot 7\cdot (-4)=121 > 0$: abbiamo nuovamente la conferma che l'equazione ha due soluzioni distinte.
- Data l'equazione $4x^2-4x+1=0$, abbiamo $\Delta = (-4)^2-4\cdot 4 \cdot 1=0$: l'equazione ha due soluzioni coincidenti. Queste soluzioni sono $x_1 = x_2 = \frac{-4}{2 \cdot 4} = -\frac{1}{2}$.
- Data l'equazione $x^2+2x+3=0$, abbiamo $\Delta = 2^2-4\cdot 1 \cdot 3=-8$: l'equazione non ha soluzioni reali.
Formula risolutiva ridotta
A volte i calcoli previsti dalla formula risolutiva sono lunghi e complicati, e si rischia di sbagliare. Per questo motivo a volte è conveniente servirsi della formula risolutiva ridotta, che è comoda da applicare quando il coefficiente $b$ è pari: $$x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac}}{a}$$Facciamo un esempio: consideriamo l'equazione $5x^2-4x-1=0$. I coefficienti sono $a=5$, $b=-4$ e $c=-1$. Essendo $-4$ un numero pari (non importa il segno), ci conviene applicare la formula ridotta, dove $\frac{b}{2}=-2$: $$x_{1,2}=\frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2-5\cdot (-1)}}{5}=\frac{2 \pm 3}{5}$$Svolgendo i calcoli, si ha che le soluzioni sono $x_1=1$ e $x_2=-\frac{1}{5}$.
Con la formula completa avremmo avuto lo stesso risultato, ma i conti sarebbero stati più complessi.
Risoluzione di equazioni particolari
Per alcune equazioni non è necessario ricorrere alla formula risolutiva.
I primi casi particolari riguardano le equazioni incomplete (cioè quelle che hanno almeno un coefficiente uguale a zero).
- Consideriamo l'equazione pura $5x^2-1=0$.
"Trasportando" il termine noto $c=-1$ a destra dell'uguale cambiato di segno e dividendo poi per il coefficiente $a=5$ otteniamo $x^2=\frac{1}{5}$, cioè $x=\pm \sqrt{\frac{1}{5}}$.
Questo procedimento vale per ogni equazione pura $ax^2+c$, le cui soluzioni sono quindi $x_{1,2}=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$, se $-\frac{c}{a} \geq 0$. Altrimenti l'equazione è impossibile. - Consideriamo l'equazione spuria $4x^2+9x=0$.
Possiamo raccogliere $x$ ottenendo $x(4x+9)=0$.
Un prodotto è uguale a zero se uno dei fattori è uguale a zero, quindi le soluzioni di questa equazione si ottengono ponendo $x=0$ oppure $4x+9=0$. Perciò $x_1=0$ e $x_2=-\frac{9}{4}$.
Questo procedimento vale per ogni equazione spuria $ax^2+bx=0$, le cui soluzioni sono sempre due: $x_1=0$ e $x_2=-\frac{b}{a}$. - Consideriamo l'equazione monomia $25x^2=0$.
Affinché il prodotto tra 25 e un numero sia uguale a zero, tale numero deve essere zero. Perciò $x^2=0$, cioè $x=0$.
Questo procedimento vale per ogni equazione monomia $ax^2=0$, che ha sempre un'unica soluzione: $x_1=x_2=0$.
Esistono altri casi in cui non è necessario utilizzare la formula risolutiva.
- Consideriamo l'equazione $9x^2-12x+4=0$.
Possiamo accorgerci che il primo membro è lo sviluppo del quadrato del binomio $(3x-2)^2$. Questa quantità è uguale a zero quando $3x-2=0$. Perciò la soluzione dell'equazione è $x=\frac{2}{3}$.
Possiamo operare analogamente tutte le volte in cui riconosciamo un quadrato di binomio al primo membro. - Consideriamo l'equazione $x^2+8x+12=0$.
In questo caso il primo membro dell'equazione è un trinomio particolare, uguale al prodotto $(x+6)(x+2)$. L'equazione è soddisfatta quando uno dei due fattori $x+6$ o $x+2$ è uguale a zero. Le soluzioni sono quindi $x_1=-6$ e $x=-2$.
Possiamo operare analogamente tutte le volte in cui riconosciamo un trinomio particolare al primo membro.