Supponiamo di voler scomporre un polinomio di secondo grado. Se la scomposizione è possibile, saremo in grado di vedere il polinomio di partenza come un prodotto di due polinomi di primo grado: in caso contrario il polinomio di secondo grado sarà destinato a rimanere così com’è (più precisamente, il polinomio sarà irriducibile).
Dalla teoria sulle equazioni di secondo grado sappiamo che un polinomio di secondo grado della forma $ax^2 + bx + c$ può essere scomposto se e solo se $\Delta= b^2 - 4ac \geq 0$. Infatti in questo caso potremmo scrivere $$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$$ dove $x_1$ e $x_2$ sono le soluzioni dell’equazione di secondo grado associata al polinomio.
A volte però - specialmente per esigenze di rapidità nei calcoli - non è conveniente ricavare le soluzioni dell’equazione di secondo grado associata: esiste invece un procedimento molto pratico per scomporre alcuni “speciali” polinomi di secondo grado. Questi polinomi vengono detti trinomi caratteristici, o trinomi notevoli, o anche trinomi particolari.
Definizione
Consideriamo un trinomio di secondo grado di questa forma: $$x^2 + bx + c, \qquad b, c \neq 0$$Diremo che questo trinomio è caratteristico (o notevole, o particolare) se è possibile individuare facilmente due numeri $t_1, t_2$ tali che valgano le seguenti relazioni: $$\begin{cases} t_1 + t_2 = b \\ t_1 \cdot t_2 = c \end{cases}$$
Consideriamo un trinomio particolare $x^2 + bx + c$ e prendiamo i numeri $t_1$ e $t_2$ che rispettano le condizioni spiegate nella definizione. Si può facilmente verificare che vale la seguente scomposizione: $$x^2 + bx + c = (x + t_1) (x + t_2)$$Questa relazione mostra quindi come la scomposizione di un trinomio notevole sia particolarmente semplice da svolgere, dal momento che - per definizione - $t_1$ e $t_2$ sono stati determinati “facilmente”. Per capire meglio cosa intendiamo con “facilmente” mostriamo alcune strategie per trovare $t_1$ e $t_2$ nella maniera più efficace possibile.
- Prendiamo il trinomio $x^2 + 3x + 2$. Per cercare $t_1$ e $t_2$ conviene partire dal termine noto, che è $2$: sappiamo che questo è il risultato della moltiplicazione $t_1 \cdot t_2$. Esistono infinite coppie di numeri reali che soddisfano questa richiesta, ma la più semplice a cui pensare è senza dubbio $t_1 = 1$ e $t_2 = 2$; questa scelta è proprio quella giusta, dato che $t_1 + t_2 = 1 + 2 = 3$. Possiamo quindi applicare la regola esposta prima e affermare che$$x^2 + 3x + 2 = (x+t_1)(x+t_2) = (x+1)(x+2)$$
- Consideriamo il polinomio $x^2 - x - 12$. Cerchiamo $t_1$ e $t_2$ a partire dal termine noto, che è $-12$: stiamo cercando cioè due numeri reali che abbiano prodotto $-12$. Le scelte possibili sono molte, anche solo scegliendo $t_{1, 2}$ all’interno dei numeri interi: ##KATEX##\begin{aligned} & t_1 = -1, \ t_2 = 12 & \qquad & t_1 = 1, \ t_2 = -12 \\ & t_1 = -2, \ t_2 = 6 &\qquad & t_1 = 2, \ t_2 = -6 \\ & t_1 = -3, \ t_2 = 4 & \qquad & t_1 = 3, \ t_2 = -4 \end{aligned}##KATEX##Dato che $t_1 + t_2 = b = -1$, l’unica coppia che va bene tra queste è $t_1 = -4$ e $t_2 = 3$ e dunque$$x^2 - x -12 = (x - 4)(x + 3)$$
- Il polinomio $x^2 + \sqrt{6}x - 12$ è a prima vista un po’ diverso dagli esempi visti prima; proviamo comunque a vedere se è un trinomio particolare. Dato che $b = \sqrt{6}$, possiamo aspettarci che $t_1$ e $t_2$ “assomiglino” a $\sqrt{6}$. Si verifica facilmente che la scelta $t_1 = -\sqrt{6}$ e $t_2 = 2\sqrt{6}$ fa al caso nostro: quindi$$x^2 + \sqrt{6}x - 12 = (x - \sqrt{6})(x + 2\sqrt{6})$$
Adesso vogliamo generalizzare il procedimento per trinomi della forma $ax^2 + bx + c$ con $a, b, c \neq 0$. Questa volta cerchiamo dei numeri $t_1, t_2$ tali per cui valgano le seguenti condizioni: $$\begin{cases} t_1 + t_2 = b \\ t_1 \cdot t_2 = ac \end{cases}$$Una volta trovati, si può mostrare che vale la seguente scomposizione: $$ax^2+bx+c = (ax + t_1)\left ( x + \frac{t_2}{a} \right )$$dove $t_2$ è uno tra i due numeri che è divisibile per $a$.
Vediamo qualche esempio.
- Prendiamo il trinomio $7x^2 + 22x+3$. Cerchiamo due numeri il cui prodotto ha come risultato $a \cdot c = 7 \cdot 3 = 21$, e come somma $22$. È facile notare che questi due numeri sono $t_1 =1$ e $t_2 = 21$; abbiamo scelto $t_2 = 21$ dato che $21$ è divisibile per $a=7$. La regola che abbiamo appena esposto ci dice che possiamo scomporre il polinomio nel seguente modo: $$7x^2 + 22x + 3 = (7x + 1) \left ( x + \frac{21}{7} \right ) = (7x + 1)(x+3)$$
- Consideriamo il polinomio $6x^2 + 6x -12$. I numeri che cerchiamo devono soddisfare le relazioni $$\begin{cases} t_1t_2 = -72 \\ t_1 + t_2 = 6\end{cases}$$Un attimo di riflessione (e qualche conto) ci porta a capire che i numeri che ci vanno bene sono $12$ e $-6$. Entrambi questi numeri sono divisibili per $6$: se scegliamo $t_2 = 12$ otteniamo la scomposizione$$6x^2 + 6x - 12 = (6x -6) \left ( x + \frac{12}{6} \right ) = (6x-6)(x+2)$$mentre se invece scegliamo $t_2 = -6$ otteniamo$$6x^2 + 6x - 12 = (6x +12) \left ( x + \frac{-6}{6} \right ) = (6x+12)(x-1)$$Com’è possibile che si possano ottenere due scomposizioni diverse per lo stesso polinomio? Niente paura: raccogliendo $6$ nella prima parentesi di entrambe le scomposizioni ci accorgiamo che, di fatto, abbiamo di fronte la stessa espressione. Infatti: ##KATEX##\begin{aligned} (6x-6)(x+2) & = 6 \cdot (x-1)(x+2) \\ (6x+12)(x-1) & = 6 \cdot (x+2)(x-1) \end{aligned}##KATEX##Per evitare questa (apparente) ambiguità avremmo potuto svolgere un raccoglimento totale nel polinomio di partenza - raccogliendo $6$ - e considerando il polinomio ottenuto dal raccoglimento: in questo modo i conti sarebbero anche stati molto più semplici.
Ecco alcune osservazioni riguardo al procedimento di scomposizione di un trinomio particolare.
- Quando $a, b$ e $c$ sono numeri interi, conviene cercare i numeri $t_1$ e $t_2$ tra i divisori propri del loro prodotto (che è il numero $a \cdot c$) aiutandoci anche con la sua scomposizione in fattori primi. In generale, infatti, i possibili prodotti di numeri interi che danno come risultato $ac$ sono molti meno rispetto alle somme di numeri interi che hanno $b$ come risultato.
- Il procedimento di scomposizione di un trinomio caratteristico potrebbe essere svolto per ogni trinomio di secondo grado con $\Delta \geq 0$, in linea di massima: infatti per un trinomio di questo tipo esistono sempre dei numeri $t_1$ e $t_2$ che rispettano le condizioni che abbiamo visto. La peculiarità di un trinomio notevole è che, per esso, tali numeri “saltano all’occhio” e sono quindi molto semplici da determinare.
- Se abbiamo a che fare con un polinomio della forma $$ax^{2k} + bx^k + c \qquad a, b, c \neq 0$$possiamo ricondurlo a un polinomio di secondo grado in $t$, dove $t = x^k$. Il polinomio così ottenuto, che è $$at^{2} + bt + c \qquad a, b, c \neq 0$$potrebbe essere un trinomio particolare: in tal caso potrà essere scomposto utilizzando il metodo visto prima.