Per lavorare nell’insieme dei numeri naturali $\mathbb{N}$ disponiamo di quattro operazioni: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. La scomposizione in fattori primi, in particolare, è strettamente collegata all’operazione di divisione.
Introdurre alcuni concetti come quelli di multiplo e divisore ci sarà utile per spiegare come possiamo scomporre un numero nei suoi fattori primi.
Divisori e multipli – Numeri primi e numeri composti
Quando dividiamo tra loro due numeri naturali $a$ e $b$ con $b \neq 0$ non sempre l’operazione dà come risultato un quoziente esatto. Per esempio $24:8=3$ con resto $0$ ma $24:5=4$ con resto $4$. Per indicare la proprietà di cui gode $8$ nel primo esempio, diremo che $8$ è un divisore di $24$. In maniera analoga possiamo dire che $24$ è multiplo di $8$, perché $8 \cdot 3 = 24$.
Vale la pena di sottolineare che $0$ è multiplo di tutti i numeri interi, perché possiamo sempre dividere $0$ per un qualsiasi numero intero.
Notiamo che uno stesso numero può avere più di un divisore e che un numero, a sua volta, può essere multiplo di più numeri. Per esempio, $24$ ammette come divisori $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $12$ e $24$ stesso. $24$ risulta perciò multiplo di $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $8$, $12$ e $24$.
Esistono però anche numeri che ammettono solo due divisori: $1$ e il numero stesso. Ne sono esempi $5$, $13$ e molti altri.
Partendo da questi esempi diamo due definizioni.
Definizione
Un numero diverso da $0$ e da $1$ si dice primo se ha come divisori solo $1$ e se stesso.
Un numero diverso da $0$ e da $1$ si dice composto se ha più di due divisori.
Alcuni esempi di numeri primi sono $2$, $3$, $5$, $7$, e molti altri ancora; invece, $4$, $6$, $8$, $9$, $10$ sono tutti numeri composti.
Come si può vedere dalla definizione, è importante sottolineare che $0$ e $1$ sono gli unici numeri che non possono essere considerati né primi né composti.
Criteri di divisibilità
Non sempre è facile capire se un numero sia primo o composto. In alcuni casi è però possibile stabilire a priori se un numero sia o meno divisore di un altro numero assegnato. Esistono, infatti, molti criteri di divisibilità, ma i più utilizzati sono quelli riassunti nella tabella seguente.
| Divisibilità per $2$ | L'ultima del cifra del numero assegnato è $0$, $2$, $4$, $6$ oppure $8$. |
| Divisibilità per $3$ | La somma di tutte le cifre del numero assegnato è un multiplo di $3$. |
| Divisibilità per $5$ | L'ultima cifra del numero assegnato è $0$ oppure $5$. |
| Divisibilità per $7$ | La differenza tra il numero ottenuto escludendo la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è un multiplo di $7$. |
| Divisibilità per $11$ | La differenza fra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari è un multiplo di $11$. |
Scomposizione in fattori primi
Nei paragrafi precedenti abbiamo illustrato cosa indicano le espressioni divisore, multiplo, numero primo, numero composto e criterio di divisibilità. In particolare abbiamo distinto due sottoinsiemi dei numeri naturali: i numeri che hanno più di due divisori, i numeri composti, e i numeri che ne hanno esattamente due, i numeri primi.
Alcune volte può essere pratico riscrivere un numero dato come prodotto di soli numeri primi. Consideriamo come esempio nuovamente il numero $24$, possiamo scriverlo sotto forma di prodotto in diversi modi, ma solo uno coinvolge esclusivamente fattori che sono numeri primi. Infatti $24=2\cdot 12=2 \cdot 2 \cdot 6=2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3$ e solo l’ultima delle scritture coinvolge come fattori solo numeri primi.
Il procedimento che permette di scrivere un numero come prodotto di fattori primi è detto scomposizione in fattori primi o fattorizzazione. Per imparare a scomporre un numero in fattori primi partiamo da un esempio e scegliamo il numero $40$.
- Scriviamo il numero e tracciamo alla sua destra una linea verticale:
$$\left.\begin{aligned} & 40\ \\ & \ \\ & \ \\ & \ \\ & \ \\ & \ \end{aligned}\right |\begin{aligned} \\ \\ \\ \\ \\ \ \\\end{aligned}$$ - Dobbiamo individuare il più piccolo divisore di $40$ diverso da $1$. Per farlo possiamo usare i criteri di divisibilità che abbiamo visto. L’ultima cifra di $40$ è $0$ e quindi $40$ risulta divisibile per $2$. Scriveremo $2$ a destra della linea verticale.
$$\left.\begin{aligned} & 40\ \\ & \ \\ & \ \\ & \ \\ & \ \\ & \ \end{aligned}\right |\begin{aligned} & 2 \\ \\ \\ \\ \\ \ \\\end{aligned}$$ - Eseguiamo la divisione tra il numero di partenza e il divisore trovato. $40:2=20$, scriviamo il risultato dell’operazione a sinistra della linea verticale in colonna sotto il $40$.
$$\left.\begin{aligned} & 40\ \\ & 20\ \\ & \ \\ & \ \\ & \ \\ & \ \end{aligned}\right |\begin{aligned} & 2 \\ \\ \\ \\ \\\\ \end{aligned}$$ - Ripetiamo quanto fatto nei punti 2. e 3. partendo questa volta dal quoziente della prima divisione. Dobbiamo ripetere gli stessi passaggi fino a quando il quoziente dell’ultima divisione non sarà $1$.
$$\left.\begin{aligned} 4&0\ \\ 2&0\ \\ 1&0\ \\ & 5\ \\ & 1\ \\ & \ \end{aligned}\right |\begin{aligned} & 2 \\ & 2 \\ & 2 \\ & 5 \\ \\\\ \end{aligned}$$ - I numeri scritti a destra della linea verticale sono proprio i fattori primi del numero di partenza. A questo punto possiamo scrivere il numero come prodotto dei suoi fattori primi:
$$40=2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 5.$$
Usando le proprietà delle potenze possiamo scrivere lo stesso risultato in maniera più compatta, notando che il fattore $2$ compare tre volte:
$$40=2\cdot 2 \cdot 2 \cdot 5=2^3 \cdot 5.$$
Il procedimento di scomposizione in fattori primi si può applicare a qualunque numero. Se ci troviamo di fronte a un numero a cui non possiamo applicare nessun criterio di divisibilità tra quelli che conosciamo possiamo procedere comunque provando a dividerlo per i numeri primi successivi ($13, 17, 19$…).
In generale quando siamo al punto 2. e cerchiamo il più piccolo divisore del numero dato possiamo anche semplicemente cercare un divisore qualsiasi. La proprietà commutativa della moltiplicazione, infatti, ci assicura che cambiando l’ordine dei fattori il prodotto non cambia. La scelta di cercare il divisore più piccolo di solito aiuta a semplificare i calcoli che a ogni passaggio diventano meno complessi.
Per memorizzare il procedimento provate a fattorizzare i numeri $486$, $156$ e $77$ e confrontate il vostro risultato con la risoluzione che vi proponiamo.
- Primo esempio: fattorizzazione di $486$.
$$\left.\begin{aligned} 48&6\ \\ 24&3\ \\ 8&1\ \\ 2&7\ \\ & 9\ \\ & 3\ \\ & 1 \ \end{aligned}\right |\begin{aligned} & 2 \\ & 3 \\ & 3 \\ & 3 \\ & 3 \\ &3 \\\\ \end{aligned}$$
In conclusione abbiamo:
$$486=2\cdot 3^5.$$ - Secondo esempio: fattorizzazione di $156$.
$$\left.\begin{aligned} 15&6\ \\ 7&8\ \\ 3&9\ \\ 1&3\ \\ & 1\ \\ \end{aligned}\right |\begin{aligned} & 2 \\ & 2 \\ & 3 \\ &13 \\\\ \end{aligned}$$
Quindi abbiamo:
$$156=2^2\cdot 3 \cdot 13.$$ - Terzo esempio: fattorizzazione di $77$.
$$\left.\begin{aligned} 7&7\ \\ 1&1\ \\ &1\ \\ \end{aligned}\right |\begin{aligned} & 7 \\ & 11 \\\\ \end{aligned}$$
Quindi risulta:
$$77=7 \cdot 11.$$