Supponiamo di possedere una somma di 1000 euro, depositata in una banca, che annualmente frutta il 100% di interessi.
Se il calcolo dell’interesse viene applicato una volta sola, cioè alla fine dell’anno, la somma in nostro possesso diventa pari a $1000 + 1000 = 2000$ euro.
Proviamo adesso a scaglionare il nostro interesse in due parti: supponiamo cioè che la nostra somma frutti il 50% di interessi ogni sei mesi. La sensazione è che, così facendo, la somma in nostro possesso alla fine dell’anno sia maggiore di $2000$ euro. In effetti, dopo i primi sei mesi otteniamo: $$1000 + 1000 \cdot \frac{50}{100} = 1000 + 500 = 1500 \text{ euro}$$ e alla fine dell’anno abbiamo: $$1500 + 1500 \cdot \frac{50}{100} = 1500 + 750 = 2250 \text{ euro}$$che è una somma più alta rispetto ai $2000$ euro ottenuti nell’altro caso.
Osservando con attenzione i calcoli che abbiamo fatto, ci accorgiamo che la somma finale ottenuta scaglionando in questo modo gli interessi è data dalla formula:
##KATEX##\begin{aligned}S_2 & = \left [ 100 \cdot \left ( 1 + \frac{50}{100} \right ) \right ] \cdot \left (1 + \frac{50}{100} \right ) \\& = 100 \cdot \left ( 1 + \frac{50}{100} \right ) \cdot \left (1 + \frac{50}{100} \right ) = \\& = 100 \cdot \left ( 1 + \frac{50}{100} \right )^2 = \\& = 100 \cdot \left ( 1 + \frac{1}{2} \right )^2.\end{aligned}##KATEX##
Non è quindi difficile convincersi che se avessimo scaglionato l’interesse, per esempio, in quattro tranche durante l’anno, la somma che avremmo ottenuto alla fine dell’anno sarebbe data dalla formula: $$S_4 = 1000 \cdot \left ( 1 + \frac{1}{4} \right )^4.$$Facendo i conti, otteniamo che $S_4 = 2441,40$ euro, che è ancora maggiore di $S_2$.
Cosa succede quando aumentiamo ancora il numero di volte in cui scaglioniamo l’interesse? Ovvero, cosa succede alla quantità: $$S_n = 1000 \cdot \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n$$all’aumentare di $n$, che rappresenta proprio il numero di volte in cui scaglioniamo l’interesse? Riportiamo qualche risultato, saltando i conti:
##KATEX##\begin{aligned}S_{10} & = 1000 \cdot \left ( 1 + \frac{1}{10} \right )^{10} = 2593,74 \\S_{100} & = 1000 \cdot \left ( 1 + \frac{1}{100} \right )^{100} = 2704,81 \\S_{1000} & = 1000 \cdot \left ( 1 + \frac{1}{1000} \right )^{1000} = 2716,92\end{aligned}##KATEX##
Vediamo che la somma in nostro possesso alla fine dell’anno cresce all’aumentare degli scaglionamenti, ma in ogni caso sembra stabilizzarsi verso un valore definito.
Ma qual è questo valore?
Questa è proprio la domanda che si fece Jacob Bernoulli (1655 - 1705) quando affrontò per la prima volta questo problema, riflettendo sul calcolo di ciò che oggi chiamiamo interesse composto continuo. In particolare, Bernoulli si rese conto che era di fondamentale importanza determinare il valore dell’espressione $\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n$ all’aumentare di $n$.
Definizione
Si definisce numero di Nepero, o numero di Eulero, o anche costante $e$, il valore che assume l’espressione: $$\left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n$$all’aumentare di $n$. Più rigorosamente (utilizzando il linguaggio dei limiti), definiamo così questo numero: $$e:= \lim_{n \to \infty} \left ( 1 + \frac{1}{n} \right )^n.$$
Questa costante è un numero irrazionale, e quindi non è possibile determinarne la sua parte decimale senza ricorrere a una approsimazione. Se ci fermiamo alla decima cifra decimale, per esempio, si ha: $$ e = 2.7182818284 \ldots$$Attualmente, si conoscono le prime mille miliardi di cifre dello sviluppo decimale di $e$.
Questa costante ha un ruolo importantissimo nella Matematica: è infatti alla base della definizione di logaritmo naturale, e si trova anche nella definizione della forma trigonometrica di un numero complesso.
Proprietà della costante $e$
Il numero di Nepero ha molte interessanti proprietà: elenchiamo qui di seguito alcune tra le più interessanti e curiose.
- È possibile definire questa costante anche come il valore della seguente serie:
##KATEX##\begin{aligned}e:= \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{1}{n!} & = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \ldots = \\& = 1+1+\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \ldots\end{aligned}##KATEX##
In effetti, con alcuni metodi (non banali) si può dimostrare l’equivalenza tra questa definizione e quella che abbiamo dato noi. - La funzione esponenziale $f(x) = e^x$ è l’unica funzione che ha sé stessa come derivata (insieme a tutte le funzioni del tipo $f(x) = C \cdot e^x $ con $C \in \mathbb{R}$).
Questo significa, in particolare, che la pendenza della retta tangente al grafico di $f(x) = e^x$ in un suo qualsiasi punto è uguale al valore dell’ordinata del punto stesso. - La costante $e$ viene chiamata anche “numero di Nepero” perché, storicamente, fece la prima apparizione in un lavoro del matematico scozzese John Napier (1500 - 1617), dove questo numero venne utilizzato come base per il calcolo di alcuni logaritmi.
- A partire dalla definizione di $e$, possiamo ricavare alcune relazioni interessanti che coinvolgono questa costante, che rientrano all’interno dei cosiddetti limiti notevoli:
##KATEX##\begin{aligned}\lim_{x \to \infty} \left ( 1 + \frac{a}{x} \right )^x & = e^a; \\\lim_{x \to 0} \left ( 1 + ax \right )^{\frac{1}{x}} & = e^a; \\\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1+x)}{x} & = 1; \\\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} & = 1.\end{aligned}##KATEX## - Vale la seguente formula, che in maniera elegante e suggestiva mette in relazione $e$ con l’unità immaginaria $i$, la costante $\pi$ e i numeri $0$ e $1$: $$e^{i \cdot \pi} + 1 = 0$$Questa formula, chiamata identità di Eulero, può apparire misteriosa se non si ha praticità con la rappresentazione dei numeri complessi in forma trigonometrica. In ogni caso questa relazione è di indubbia bellezza e semplicità, ed è considerata da molti la formula più famosa di tutta la Matematica.