In questo video le definizioni di logaritmo e di funzione logaritmica sono enunciate e spiegate tramite alcuni esempi.
Si dice logaritmo in base $a$ di $b$, e si scrive $x = \log_a (b)$, l’esponente $x$ che si deve ad $a$ (base) per ottenere $b$ (argomento). Le due scritture $a^x=b$ e $x= \log_a(b)$ sono quindi equivalenti e i parametri devono soddisfare le condizioni già viste per la funzione esponenziale: $b>0, a>0, a \neq 1$.
Si dice funzione logaritmica una funzione che si presenta nella forma $$ y= \log_a (x) $$ dove la base $a$ è un numero reale positivo diverso da $1$.
Che caratteristiche ha la funzione logaritmica? Tutte le funzioni logaritmiche sono definite solo per $x>0$, il loro dominio cioè è l’intervallo $(0, +\infty)$, e quindi il grafico di queste funzioni si troverà sempre da destra dell’asse delle $y$. Inoltre, poiché elevando a zero qualunque numero reale (diverso da $0$) si ottiene $1$, il grafico passa sempre per il punto $(1;0)$. L’andamento dipende dalla base $a$: se $0<a<1$ la funzione è strettamente decrescente, se $a>1$ è invece strettamente crescente.
La funzione logaritmica in una determinata base è la funzione inversa della funzione esponenziale nella stessa base.
I logaritmi godono di svariate proprietà, strettamente legate alle proprietà delle potenze, illustrate nella prossima lezione.
In collaborazione con Elia Bombardelli, autore del canale youtube LessThan3Math.