somme e sottrazioni con le potenze

Ciao! io ho un problema con le potenze che non sono mai riuscito a risolverlo. quando si ha, ad esempio un equazione, con base uguale ma esponente diverso, come procedo??? Esempio: 2^x - √2 = 4- 2^((5/2)-x) So che si potrebbe utilizzare una incognita ausiliaria ma... non s perchè dopo un po' mi perdo con i calcoli.


il 28 Giugno 2015, da Gianpaolo Barducci

Michele Ferrari il 29 Giugno 2015 ha risposto:

Ciao Gianpaolo! Riscrivo questa equazione esponenziale per maggiore chiarezza: 2x2=4252x2^x - \sqrt{2} = 4 - 2^{\frac{5}{2} - x}La prima cosa che “dà fastidio” (e che hai notato anche tu) è che c’è il termine 252x2^{\frac{5}{2} - x} che ha stessa base dell’altro termine esponenziale ma esponente differente. In questo caso il mio suggerimento è di riscrivere questo termine sfruttando le proprietà delle potenze (ecco una lezione che ne parla: https://library.weschool.com/lezione/proprieta-potenze-potenza-di-potenza-matematica-12977.html). Ecco il risultato che otteniamo:252x=2522x=422x2^{\frac{5}{2} - x} = \frac{2^{\frac{5}{2}}}{2^x} = \frac{4\sqrt{2}}{2^x}A questo punto l’equazione diventa: 2x2=4422x2^x - \sqrt{2} = 4 - \frac{4\sqrt{2}}{2^x}Come intuivi, la cosa migliore da fare è fare la sostituzione 2x=t2^x = t in modo da poter lavorare più agilmente: t2=442tt - \sqrt{2} = 4 - \frac{4\sqrt{2}}{t}È importante sottolineare che t0t \neq 0 dato che t=2xt = 2^x, e quindi non può essere mai nullo: per questa ragione siamo autorizzati a moltiplicare primo e secondo membro per tt senza rischiare di scrivere qualcosa di errato. Con questo “trucco” otteniamo quindi la seguente equazione di secondo grado in tt: t22t=4t42t2(4+2)t+42=0t^2 - \sqrt{2}t = 4t - 4\sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad t^2 - (4 + \sqrt{2})t + 4\sqrt{2} = 0A questo punto bisogna applicare il metodo di risoluzione delle equazioni di secondo grado (qua c’è una lezione a riguardo: https://library.weschool.com/lezione/risoluzione-equazione-secondo-grado-formula-risolutiva-ridotta-equazioni-algebra-12887.html, mentre nel calcolo delle radici ti tornerà utile sapere la formula per i radicali doppi, che trovi qui: https://library.weschool.com/lezione/razionalizzazione-radicali-radicale-doppio-operazioni-esercizi-13321.html) per arrivare a ottenere le due soluzioni t1=4t_1 = 4 e t2=2t_2 = \sqrt{2}. Dato che vogliamo le soluzioni in xx, dobbiamo ripercorrere “al contrario” la sostituzione fatta, ottenendo 2x1=4,2x2=22^{x_1} = 4, \qquad 2^{x_2} = \sqrt{2}da cui otteniamo x1=2,x2=12x_1 = 2, \qquad x_2 = \frac{1}{2}Ricapitolando, possiamo dire che questa equazione esponenziale poteva essere risolta con qualche “trucco” algebrico riconducendola a un’equazione di secondo grado con l’incognita ausiliaria t=2xt = 2^x; altri esercizi simili possono essere trovati guardando questo video: https://library.weschool.com/lezione/come-risolvere-equazioni-esponenziali-esempi-esercizi-svolti-9355.html. Se hai domande sul modo in cui ho svolto l’esercizio, o se non ti tornano i conti, fammi sapere! :)


Gentilissimo e chiarissima spiegazione! 1000 grazie. ehhhmm mi sono fatto lasciare spaventare dalla radice sotto radice e poi non sono andato avanti nei calcoli. Dopo la tua spiegazione ho notato che si poteva tradurla come -(√2-t)(t-4)=0 e si devo dire che su quello ho un po' di lacune. vedrò come imparare :) Ancora grazie per la risposta e la spiegazione. P.S. le soluzioni sono identiche a quelle del libro:) - Gianpaolo Barducci 29 Giugno 2015

Meno male! :D Ti propongo anche questo spunto di riflessione: in generale, per un'equazione di secondo grado della forma x2+ax+b=0x^2 + ax + b = 0 che abbia radici x1,x2x_1, x_2 valgono sempre le seguenti formule: {a=x1+x2b=x1x2\begin{cases} -a = x_1 + x_2 \\ b = x_1 \cdot x_2 \end{cases}Applicato all'equazione del nostro problema (che è x2(4+2)x+42=0x^2 - (4 + \sqrt{2})x + 4\sqrt{2} = 0) si vede allora immediatamente che le nostre soluzioni sono x1=4x_1=4 e x2=2x_2 = \sqrt{2}, senza fare neanche un conto... ;) - Michele Ferrari 29 Giugno 2015