somme e sottrazioni con le potenze
Ciao! io ho un problema con le potenze che non sono mai riuscito a risolverlo. quando si ha, ad esempio un equazione, con base uguale ma esponente diverso, come procedo??? Esempio: 2^x - √2 = 4- 2^((5/2)-x) So che si potrebbe utilizzare una incognita ausiliaria ma... non s perchè dopo un po' mi perdo con i calcoli.
il 28 Giugno 2015, da Gianpaolo Barducci
Ciao Gianpaolo! Riscrivo questa equazione esponenziale per maggiore chiarezza: La prima cosa che “dà fastidio” (e che hai notato anche tu) è che c’è il termine che ha stessa base dell’altro termine esponenziale ma esponente differente. In questo caso il mio suggerimento è di riscrivere questo termine sfruttando le proprietà delle potenze (ecco una lezione che ne parla: https://library.weschool.com/lezione/proprieta-potenze-potenza-di-potenza-matematica-12977.html). Ecco il risultato che otteniamo:A questo punto l’equazione diventa: Come intuivi, la cosa migliore da fare è fare la sostituzione in modo da poter lavorare più agilmente: È importante sottolineare che dato che , e quindi non può essere mai nullo: per questa ragione siamo autorizzati a moltiplicare primo e secondo membro per senza rischiare di scrivere qualcosa di errato. Con questo “trucco” otteniamo quindi la seguente equazione di secondo grado in : A questo punto bisogna applicare il metodo di risoluzione delle equazioni di secondo grado (qua c’è una lezione a riguardo: https://library.weschool.com/lezione/risoluzione-equazione-secondo-grado-formula-risolutiva-ridotta-equazioni-algebra-12887.html, mentre nel calcolo delle radici ti tornerà utile sapere la formula per i radicali doppi, che trovi qui: https://library.weschool.com/lezione/razionalizzazione-radicali-radicale-doppio-operazioni-esercizi-13321.html) per arrivare a ottenere le due soluzioni e . Dato che vogliamo le soluzioni in , dobbiamo ripercorrere “al contrario” la sostituzione fatta, ottenendo da cui otteniamo Ricapitolando, possiamo dire che questa equazione esponenziale poteva essere risolta con qualche “trucco” algebrico riconducendola a un’equazione di secondo grado con l’incognita ausiliaria ; altri esercizi simili possono essere trovati guardando questo video: https://library.weschool.com/lezione/come-risolvere-equazioni-esponenziali-esempi-esercizi-svolti-9355.html. Se hai domande sul modo in cui ho svolto l’esercizio, o se non ti tornano i conti, fammi sapere! :)
Gentilissimo e chiarissima spiegazione! 1000 grazie. ehhhmm mi sono fatto lasciare spaventare dalla radice sotto radice e poi non sono andato avanti nei calcoli. Dopo la tua spiegazione ho notato che si poteva tradurla come -(√2-t)(t-4)=0 e si devo dire che su quello ho un po' di lacune. vedrò come imparare :) Ancora grazie per la risposta e la spiegazione. P.S. le soluzioni sono identiche a quelle del libro:) - Gianpaolo Barducci 29 Giugno 2015
Meno male! :D Ti propongo anche questo spunto di riflessione: in generale, per un'equazione di secondo grado della forma che abbia radici valgono sempre le seguenti formule: Applicato all'equazione del nostro problema (che è ) si vede allora immediatamente che le nostre soluzioni sono e , senza fare neanche un conto... ;) - Michele Ferrari 29 Giugno 2015