In questa lezione vedremo alcuni semplici tipologie di esercizi, in cui possiamo applicare le proprietà e le operazioni dei radicali. In particolare guarderemo il procedimento di razionalizzazione, che viene utilizzato per manipolare una frazione in modo da eliminare tutti i radicali presenti al denominatore, e mostreremo la formula risolutiva dei radicali doppi, per poi fare qualche esercizio per vedere come applicarla.
Moltiplicazione e divisione tra radicali
Dati due radicali qualsiasi, è sempre possibile moltiplicarli o dividerli tra loro in modo da ottenere un unico radicale. Per questo procedimento vengono utilizzate sistematicamente la proprietà invariantiva e le proprietà della moltiplicazione (e divisione) tra radicali con lo stesso indice.
Calcoliamo, per esempio, $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[4]{3} : \sqrt{3}$. La prima cosa da fare è trasformare tutti e tre i radicali in modo che abbiano lo stesso indice:
##KATEX##\begin{aligned}\sqrt[3]{2} & = \sqrt[12]{2^4} \\\sqrt[4]{3} & = \sqrt[12]{3^3} \\\sqrt{3} & = \sqrt[12]{3^6}\end{aligned}##KATEX##
A questo punto otteniamo: $$\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[4]{3} : \sqrt{3} = \sqrt[12]{2^4} \cdot \sqrt[12]{3^3} : \sqrt[12]{3^6} = \sqrt[12]{\frac{2^4 \cdot 3^3}{3^6}} = \sqrt[12]{\frac{2^4}{3^3}} = \sqrt[12]{\frac{16}{27}}$$Siamo arrivati a ottenere un solo radicale, come volevamo.
Il procedimento da applicare in questi casi, in generale, si può ricapitolare in questo modo.
- Portare allo stesso indice i radicali coinvolti nelle operazioni. L’indice da scegliere è il minimo comune multiplo tra gli indici dei radicali.
- Moltiplicare o dividere i radicali fra loro: il risultato sarà un radicale con indice uguale a quello ottenuto nel passo precedente.
- Svolgere eventuali operazioni algebriche per ricondurre il radicale alla forma più semplice possibile.
Somma e sottrazione tra radicali
L’unico caso in cui possiamo svolgere somma e sottrazione tra radicali è quando all’interno dell’espressione che si sta considerando ci sono radicali con stesso indice e stesso radicando. Per esempio: $$2\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 6\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{4} = (2-4)\sqrt{3} + (6+1)\sqrt[3]{4} = -2\sqrt{3} + 7\sqrt[3]{4}.$$Si vede quindi che la somma o la sottrazione tra radicali con stesso indice e radicando è uguale alla somma o alla differenza dei coefficienti che moltiplicano i radicali considerati, nuovamente moltiplicata per il radicale che hanno in comune.
Un'espressione del tipo: $$\sqrt{3} + 4\sqrt{5} - \sqrt{2}$$ non può essere invece semplificata ulteriormente, dato che tutti i radicali hanno radicandi differenti; anche l’espressione: $$\sqrt{7} - 2\sqrt[3]{7} + 5\sqrt[4]{7}$$non ha al suo interno operazioni che possiamo svolgere.
Semplificazione di radicali
Applicando adeguatamente la proprietà invariantiva, è possibile semplificare alcuni radicali che possono sembrare particolarmente complessi, in modo che siano nella forma più facile possibile per fare i conti. Vediamo alcuni esempi.
- $\sqrt[15]{32} = \sqrt[3 \cdot 5]{2^5} = \sqrt[3]{2}$.
- $\sqrt[6]{\frac{125}{27}} = \sqrt[6]{\frac{5^3}{3^3}} = \sqrt[3 \cdot 2]{ \left ( \frac{5}{3} \right )^3} = \sqrt{\frac{5}{3}}$.
- $\sqrt[n]{2^n \cdot 5^{3n} \cdot 7^{n^2}} = \sqrt[n]{2^n} \cdot \sqrt[n]{5^{3n}} \cdot \sqrt[n]{7^{n^2}} = 2 \cdot 5^3 \cdot 7^n = 250\cdot 7^n$.
Razionalizzazione di una frazione
Con il termine razionalizzazione, in Matematica, si intende il procedimento algebrico che si può applicare a determinate frazioni per far sì che al denominatore non compaiano più radicali.
La razionalizzazione consiste principalmente nell’applicazione delle proprietà dei radicali, o in alcuni casi di determinati prodotti notevoli. Vediamone alcuni esempi:
- Proviamo a razionalizzare la frazione: $$\frac{3+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$$Possiamo moltiplicare numeratore per il fattore $\sqrt{2}$: così facendo otteniamo: $$\frac{3+\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{(3+\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}+2}{2}$$La frazione che abbiamo ottenuto non ha più un radicale al denominatore e quindi è stata razionalizzata.
- Consideriamo la frazione: $$\frac{5+\sqrt{8}}{\sqrt{4} - \sqrt{2}}$$Per razionalizzare questa frazione bisogna innanzitutto ricordarsi che vale il seguente prodotto notevole: $$A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$$Utilizziamo questo risultato e moltiplichiamo numeratore e denominatore per la stessa quantità $\sqrt{4} + \sqrt{2}$; otteniamo:
##KATEX##\begin{aligned}\frac{5+\sqrt{8}}{\sqrt{4} - \sqrt{2}} & = \frac{(5+\sqrt{8}) \cdot (\sqrt{4} + \sqrt{2})}{(\sqrt{4} - \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{4} + \sqrt{2})} = \\& = \frac{5\sqrt{4} + \sqrt{32} + 5 \sqrt{2} + \sqrt{16}}{4-2} = \frac{14+9\sqrt{2}}{2}\end{aligned}##KATEX##
La frazione è dunque razionalizzata. - Prendiamo la frazione: $$\frac{2\sqrt[4]{2} - \sqrt{5}}{\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{6}}$$Questa volta dobbiamo utilizzare questo prodotto notevole: $$A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$$Moltiplichiamo allora numeratore e denominatore per la stessa quantità $\left ( \sqrt[3]{3} \right )^2 + \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{6} + \left ( \sqrt[3]{6} \right )^2$ e otteniamo:
##KATEX##\begin{aligned}\frac{2\sqrt[4]{2} - \sqrt{5}}{\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{6}} & = \frac{(2\sqrt[4]{2} - \sqrt{5}) \cdot \left ( \left ( \sqrt[3]{3} \right )^2 + \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{6} + \left ( \sqrt[3]{6} \right )^2 \right ) }{(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{6}) \cdot \left ( \left ( \sqrt[3]{3} \right )^2 + \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{6} + \left ( \sqrt[3]{6} \right )^2 \right ) } = \\& = \frac{ \left ( 2\sqrt[4]{2} - \sqrt{5} \right )\cdot \sqrt[3]{9} \cdot \left ( 1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4} \right ) }{3-6} = \\& = - \frac{\sqrt[3]{9}\left ( 2\sqrt[4]{2} + 2\sqrt[4]{2}\sqrt[3]{2} + 2\sqrt[4]{2}\sqrt[3]{4} - \sqrt{5} - \sqrt{5}\sqrt[3]{2} - \sqrt{5}\sqrt[3]{4} \right ) }{3} \\\end{aligned}##KATEX##
Si potrebbe andare avanti svolgendo altre semplificazioni al numeratore, ma l’unica cosa che conta per il nostro esercizio è che il denominatore non contenga più radicali: e questo obiettivo è stato raggiunto.
In questi esercizi abbiamo visto tre procedimenti standard per la razionalizzazione di frazioni, ma in realtà il discorso è molto più ampio ed esistono molti altri procedimenti che si possono applicare. In generale, l’idea è sempre di applicare adeguatamente prodotti notevoli o altre operazioni algebriche in modo da semplificare il più possibile il denominatore (e come abbiamo visto nel terzo esercizio, non ha importanza quanto diventi complicata l’espressione al numeratore successivamente alla razionalizzazione).
Radicali doppi: formula risolutiva
Un radicale quadratico doppio (o più semplicemente radicale doppio) è un radicale della forma: $$\sqrt{a \pm \sqrt{b}}, \qquad a \pm \sqrt{b} \geq 0, b \geq 0$$Questo tipo di radicale, in certi casi, può essere riscritto in una somma di radicali semplici. Più precisamente, se la quantità $a^2 - b$ è un quadrato perfetto, allora possiamo utilizzare la seguente formula:
$$\sqrt{a \pm \sqrt{b}} = \sqrt{ \frac{a + \sqrt{a^2-b}}{2} } \pm \sqrt{ \frac{a - \sqrt{a^2-b}}{2} }$$Questa formula, in realtà, funziona per qualsiasi $a, b$ tali che $a^2 - b \geq 0$; il motivo per cui si richiede che $a^2 - b$ sia anche un quadrato perfetto è che si vuole ottenere la somma (o la differenza) di due radicali semplici. Se $a^2 - b$ non rispetta questa condizione, è invece meglio lasciare il radicale doppio inalterato.
Vediamo alcuni esempi.
- Prendiamo $\sqrt{8 - \sqrt{48}}$. Dato che $a^2 - b = 8^2 - 48 = 64 - 48 = 16 = 4^2$, possiamo applicare la formula risolutiva: $$\sqrt{8 - \sqrt{48}} = \sqrt{\frac{8 + \sqrt{16}}{2}} - \sqrt{\frac{8 - \sqrt{16}}{2}} = \sqrt{\frac{8 +4}{2}} - \sqrt{\frac{8 -4}{2}} = \sqrt{6}-\sqrt{2}$$
- Consideriamo $\sqrt{5 + \sqrt{3}}$. In questo caso $5^2 - 3 = 22$, che non è un quadrato perfetto. Possiamo applicare la formula in ogni caso: $$\sqrt{5 + \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{5 + \sqrt{22}}{2}} + \sqrt{\frac{5 - \sqrt{22}}{2}}$$Come si vede, l’espressione che abbiamo ottenuto non è di certo più semplice di quella di partenza; questo conferma il fatto che in questi casi il radicale doppio non deve essere modificato.
- Prendiamo il radicale doppio $\sqrt{a + 2\sqrt{a-1}}$ con $a > 2$. Possiamo scrivere $\sqrt{a + 2\sqrt{a-1}} = \sqrt{a + \sqrt{4(a-1)}}$; a questo punto notiamo che $a^2 - 4(a-1) = a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$, che è quindi un quadrato perfetto. Allora:
##KATEX##\begin{aligned}\sqrt{a + 2\sqrt{a-1}} & = \sqrt{\frac{a + \sqrt{(a-2)^2}}{2}} + \sqrt{\frac{a - \sqrt{(a-2)^2}}{2}} = \\& = \sqrt{\frac{2a-2}{2}} + \sqrt{\frac{2}{2}} = \sqrt{a-1} + 1\end{aligned}##KATEX##
La condizione $a > 2$ è necessaria per applicare adeguatamente la seconda proprietà fondamentale al radicale $\sqrt{(a-2)^2}$.