'

Proprietà delle radici e condizioni di esistenza dei radicali

In questo video iniziamo a scoprire le proprietà dei radicali.
Innanzitutto, ricordiamo che un radicale è definito, se ha indice pari, solo per radicandi non negativi: ossia, se $n$ è un numero naturale pari, $\sqrt[n]{A}$ esiste solo se $A \geq 0$. Se dunque $A$ è un’espressione letterale, occorrerà porre delle condizioni di esistenza mediante la disequazione $A \geq 0$.
Detto questo, illustriamo le seguenti proprietà dei radicali:

  1. Ovunque sia definita $\sqrt[n]{A}$, vale$$\left( \sqrt[n]{A} \right)^{n} = A$$Questa proprietà deriva direttamente dalla definizione di radicale ennesimo, e ci fa comprendere che, almeno per i numeri reali non negativi, l’estrazione di radice è una delle operazioni inverse dell’elevamento a potenza (l’altra è il logaritmo).
  2. Per ogni $A \in \mathbb{R}$ vale$$\sqrt[n]{A^n} = \begin{cases} A & \text{ se }n \text{ è dispari} \\ |A| & \text{ se }n \text{ è pari} \end{cases}$$Per accorgersi del fatto che con indice pari è necessario mettere il valore assoluto, è sufficiente ricordarsi la definizione del modulo di un numero e fare qualche esempio.
  3. Se $A \geq 0$ allora $$ \sqrt[n]{A^m} = \sqrt[n \cdot k]{A^{m \cdot k}}$$Questa proprietà si chiama proprietà invariantiva dei radicali. Molto importante è notare che vale sempre solo se $A \geq 0$: se $A < 0$ possono presentarsi dei problemi, non solo di definizione del radicale, ma anche di segno dello stesso. Queste problematiche vanno sotto il nome di condizioni di accettabilità, e verranno trattate in dettaglio nel seguito. Ad ogni modo, come tutte le uguaglianze, la proprietà invariantiva può anche essere scritta nell’altro verso:$$ \sqrt[n \cdot k]{A^{m \cdot k}} = \sqrt[n]{A^m}$$Questo ci dice che, prestando la dovuta attenzione alle condizioni di esistenza ed accettabilità, possiamo semplificare indice della radice ed esponente del radicando qualora abbiano un fattore in comune.

Video su Algebra

Relatori