In questo video vengono introdotti i radicali o radici di numeri reali.
La definizione di radicale di un numero reale si basa su un fondamentale teorema di aritmetica:
Sia $A$ un numero reale positivo e sia $n$ un numero intero positivo. Allora esiste un unico numero reale positivo $x$ tale che $x^n = A$.
Questo unico numero $x$ viene detto radice aritmetica ennesima o radicale ennesimo di $A$ (o anche solo radice ennesima o $n-$esima), e si indica con$$ A^{\frac{1}{n}} \quad \text{ oppure } \quad \sqrt[n]{A}$$Nell’espressione precedente, $A$ prende il nome di radicando ed $n$ si dice indice della radice. È importante far notare che la radice di un numero positivo è sempre un numero positvo. Fra le radici abbiamo anche un primo esempio di numeri irrazionali, ossia numeri che, espressi in notazione decimale, posseggono infinite cifre dopo la virgola: sono quindi prive di periodo, e non possono essere scritti come frazione.
È anche possibile effettuare la radice di un numero reale negativo se l’indice della radice è un numero dispari. In questo caso, si definisce$$ \sqrt[n]{A} = - \sqrt[n]{-A} \quad (\text{per }n\text{ dispari, }A<0) $$Quindi, per radici di ordine dispari, il segno può essere “portato fuori” o “dentro” la radice. Possiamo fare questo però solo per indici dispari: per la regola dei segni, non esiste alcun numero reale che moltiplicato per se stesso un numero pari di volte dia per risultato un numero negativo.
Possiamo quindi riassumere che la radice $n-$esima è un numero reale positivo che è definita per ogni radicando se l’indice $n$ è dispari, mentre solo per radicandi non negativi se $n$ è pari: sarà necessario in questo caso porre delle condizioni di esistenza.