Spesso quando lavoriamo coi numeri naturali abbiamo bisogno di conoscere che relazione c’è tra due o più numeri. Per esempio possiamo voler conoscere la loro somma, scoprire se uno dei due numeri divide un altro, e così via.
A volte riusciamo a ottenere a mente le informazioni che ci interessano, mentre altre volte abbiamo bisogno di qualche strumento in più. Per esempio, abbiamo visto che grazie alla scomposizione in fattori primi siamo capaci di scrivere qualunque numero, per quanto grande o complesso, come prodotto dei suoi fattori primi.
Proprio la scomposizione in fattori primi viene in nostro aiuto quando si tratta di determinare un divisore comune o un multiplo comune per un gruppo di numeri.
Definizione
Il Massimo Comun Divisore ($MCD$) tra due o più numeri tutti diversi da $0$ è il maggiore tra i loro divisori comuni. Indichiamo il $MCD$ tra due numeri $a$ e $b$ diversi da $0$ con $MCD(a, b)$.
Il minimo comune multiplo ($mcm$) tra due o più numeri tutti diversi da $0$ è il minore dei loro multipli comuni, escluso lo $0$. Indichiamo il mcm tra due numeri $a$ e $b$ diversi da $0$ con $mcm(a, b)$.
Per capire meglio cosa intendiamo quando parliamo di $MCD$ e $mcm$ consideriamo alcuni esempi.
- Prendiamo i numeri $15$ e $20$ e determiniamo il loro $MCD$. $15$ ammette come divisori $1$, $3$, $5$ e $15$, mentre $20$ è divisibile per $1$, $2$, $4$, $5$, $10$ e $20$. Il maggiore tra i divisori comuni è $5$ e quindi $$MCD(15,20)=5$$.
- Consideriamo invece ora in numeri $2$ e $3$, e determiniamo il loro $mcm$. Scriviamo i multipli dei due numeri diversi da $0$: $2$ ammette come multipli $2$, $4$, $6$, $8$, $10$, $12$,… mentre nell’insieme dei multipli di $3$ troviamo $3$, $6$, $9$, $12$,… $6$ e $12$ appartengono a entrambi gli insiemi di multipli ma $6$ è il numero minore che appare in entrambi: quindi $$mcm(2, 3) = 6$$.
Per determinare $MCD$ e $mcm$ di due numeri qualsiasi potremmo sempre procedere come fatto nei due esempi (cioè, elencando divisori e multipli) ma questo metodo non è molto rapido. È proprio qui che entra in gioco la scomposizione in fattori primi.
Partiamo nuovamente dai due esempi visti prima: partiamo ricavando il $MCD(15, 20)$. Usiamo il procedimento di scomposizione in fattori primi e scomponiamo prima $15$ e poi $20$:
$$\left.\begin{aligned} 1&5\ \\ &5\ \\ &1\ \\ \end{aligned}\right |\begin{aligned} & 3 \\ & 5 \\\\ \end{aligned}$$
$$\left.\begin{aligned} 2&0\ \\ 1&0\ \\ &5\ \\ &1\ \\ \end{aligned}\right |\begin{aligned} & 2 \\ & 2 \\ & 5 \\\\ \end{aligned}$$
Possiamo quindi dire che $15=3 \cdot 5$ e $20=2^2 \cdot 5$. Per calcolare il $MCD$ a partire dalla scomposizione in fattori primi dei due numeri basta moltiplicare tra loro i fattori comuni, ciascuno preso una sola volta, elevati all’esponente più piccolo. Nel nostro esempio $5$ è l’unico fattore in comune tra i due numeri ed è elevato alla $1$, e infatti $MCD(15, 20) = 5$.
Anche il $mcm$ può essere calcolato a partire dalla scomposizione in fattori primi: bisogna prendere il prodotto di tutti i fattori dei numeri considerati, ciascuno preso una sola volta, ed elevare ciascuno di essi all’esponente più grande presente nelle scomposizioni. Nell’esempio che avevamo fatto, dovevamo determinare $mcm(2,3)$: in questo caso il risultato è immediato perché $2$ e $3$ sono già fattori primi, e quindi $mcm(2,3)=2 \cdot 3 = 6$.
Schematizziamo i due procedimenti per calcolare MCD e mcm tra due numeri.
Procedimento per determinare il Massimo Comun Divisore:
- Scomponiamo i due numeri in fattori primi.
- Individuiamo i fattori comuni.
- Presi i fattori comuni, ciascuno una sola volta, li eleviamo al minimo esponente con cui compaiono nelle due fattorizzazioni.
Procedimento per determinare il minimo comune multiplo:
- Scomponiamo i due numeri in fattori primi.
- Individuiamo tutti i fattori comuni e non comuni.
- Presi i fattori comuni e non comuni, ciascuno una sola volta, li eleviamo al massimo esponente con cui compaiono nelle due fattorizzazioni.
Il $MCD$ tra due numeri esiste sempre, perché due numeri avranno sempre almeno $1$ come divisore comune. Il $MCD$ è sempre minore o uguale al più piccolo dei due numeri considerati.
Anche il $mcm$ tra due numeri esiste sempre, perché ogni coppia di numeri ha sempre infiniti multipli comuni, ed è sempre maggiore o uguale al più grande dei due numeri considerati.
Applichiamo i due procedimenti individuati per calcolare $MCD(544,480)$ e $mcm(544,480)$. Per prima cosa scomponiamo i due numeri in fattori primi:
##KATEX##\begin{aligned}544 & =2^5 \cdot 17 \\ 480 & =2^5\cdot 3\cdot5\end{aligned}##KATEX##
Per trovare il Massimo Comun Divisore individuiamo i fattori comuni: $2$. Notiamo che nei due numeri il fattore comune $2$ compare sempre con l’esponente $5$ e che non ci sono altri fattori comuni. Quindi $MCD(544,480)=2^5=32$.
Calcoliamo il minimo comune multiplo. I fattori che compaiono nelle due scomposizioni, comuni e non comuni, sono: $2$, $3$, $5$ e $17$. Dobbiamo elevarli al massimo esponente con cui compaiono nelle due fattorizzazioni, quindi $mcm(544,480)=2^5\cdot 3 \cdot 5 \cdot 17=8160$.
Scriviamo qui sotto il calcolo del $MCD$ e del $mcm$ di alcune coppie di numeri, che possiamo ottenere applicando i procedimenti che abbiamo visto prima.
- Quanto vale il $MCD(125,200)$? Abbiamo:
##KATEX##\begin{aligned}125 & =5^3 \\200 & =2^3 \cdot 5^2\end{aligned}##KATEX##
e quindi $MCD(125,200)=5^2=25$. - Quanto vale il $mcm(18,30)$? Otteniamo:
##KATEX##\begin{aligned}18 & =2 \cdot 3^2 \\30 & =2 \cdot 3 \cdot 5\end{aligned}##KATEX##
Quindi $mcm(18,30)=2 \cdot 3^2 \cdot 5=90$. - Vogliamo determinare il $MCD(240,108)$. Si ha:
##KATEX##\begin{aligned}240 & =2^4 \cdot 3 \cdot 5 \\108 & =2^2 \cdot 3^3\end{aligned}##KATEX##
Allora $MCD(240,108)=2^2 \cdot 3=12$. - Determiniamo il $mcm(96,312)$. Abbiamo:
##KATEX##\begin{aligned}96 & =2^5 \cdot 3 \\312 & =2^3 \cdot 3 \cdot 13\end{aligned}##KATEX##
Quindi $mcm(96,312)=2^5 \cdot 3 \cdot 13=1248$.