Quando vogliamo rappresentare un punto nel piano, in Geometria Analitica, possiamo utilizzare le coordinate cartesiane. Questo tipo di coordinate ci permette di “dare un nome” a un punto nel piano: una volta che abbiamo tracciato i due assi cartesiani, ogni punto $P$ viene identificato con una coppia di numeri, e viceversa a ogni coppia di numeri corrisponde un certo punto $P$ nel piano. Stiamo quindi stabilendo una corrispondenza biunivoca tra l’insieme dei punti del piano e $\mathbb{R}^2$, che è appunto l’insieme di tutte le coppie di numeri reali; ovviamente questo procedimento si può generalizzare a tutti i punti dello spazio e $\mathbb{R}^3$ (introducendo anche le coordinate sferiche e cilindriche).
Introduciamo adesso un altro modo di affrontare il problema. Prendiamo il piano, senza riferimento cartesiano, e tracciamo invece una semiretta qualsiasi (che per semplicità disegneremo “orizzontale” rispetto alla nostra visuale) di origine $O$.
Consideriamo un punto $P$ qualsiasi del piano, e consideriamo la distanza di $P$ dal punto $O$, che chiamiamo $r_P$, e la misura dell’angolo $\theta_P$ che il segmento $PO$ forma con la semiretta di partenza, in senso antiorario.
Si nota abbastanza facilmente che il punto $P$ è completamente determinato dai numeri $r_P$ e $\theta_P$; viceversa, ogni scelta di una distanza $r$ e un angolo $\theta$ identifica senza ambiguità un punto nel piano. Abbiamo quindi costruito un sistema di coordinate, cioè un sistema che ci permetta di “confondere” un oggetto geometrico (un punto) con una coppia di numeri (in questo caso $(r, \theta)$).
Definizione
La coppia $(r, \theta)$ con $r \in \mathbb{R}, r > 0$ e $\theta \in [0, 2\pi)$ associata a un punto $P$ del piano, ottenuta con la costruzione appena vista, si chiama coppia di coordinate polari.
È interessante notare che le coordinate polari, nonostante siano molto diverse dalle coordinate cartesiane, consistano comunque di una coppia di numeri. In effetti si può mostrare che, anche se ci inventassimo un altro modo di rappresentare un punto del piano, avremmo comunque bisogno di due quantità numeriche.
Conversione tra coordinate polari e cartesiane
A volte può essere utile poter identificare un punto del piano utilizzando sia il sistema di coordinate cartesiane che il sistema di coordinate polari: di conseguenza è necessario sapere come passare da un sistema di coordinate all’altro.
Per semplicità, consideriamo gli assi cartesiani $x$ e $y$ e scegliamo la semiretta che ci serve per il sistema di coordinate polari in modo che abbia origine $O$ coincidente con l’origine degli assi cartesiani, e che sia diretta dalla parte delle $x$ positive.
- Cartesiane $\to$ polari: se il punto $P$ ha coordinate $(x_P, y_P)$ nel piano cartesiano, allora grazie al teorema di Pitagora possiamo affermare che: $$r_P = \sqrt{x_P^2 + y_P^2}.$$Inoltre l’angolo $\theta$ è uno degli angoli del triangolo rettangolo che ha per vertici $O$, $P$ e la proiezione di $P$ sull’asse $x$. Utilizzando i teoremi di trigonometria sui triangoli rettangoli, otteniamo allora: $$\theta_P = \arctan \left ( \frac{y_P}{x_P} \right )$$Osserviamo però che questa formula non funziona quando $x_P=0$, ovvero quando il punto $P$ giace sull’asse $y$. In questo caso l’angolo $\theta$ può essere alternativamente $\frac{\pi}{2}$ o $\frac{3 \pi}{2}$ radianti, a seconda che $y_P > 0$ o $y_P < 0$ rispettivamente. Se invece anche $y_P = 0$, allora stiamo considerando il punto $O$: in questo caso non è possibile descrivere $P$ utilizzando $r$ e $\theta$, anche se alcune volte si indica $O$ con la scrittura $r=0$.
- Polari $\to$ cartesiane: se il punto $P$ ha coordinate polari $(r_P, \theta_P)$, allora possiamo considerare il triangolo rettangolo con vertici $O$, $P$ e la proiezione $A$ di $P$ sull’asse $x$: la coordinata cartesiana $x_P$ è proprio la lunghezza $\overline{AO}$ mentre $y_P = \overline{AP}$. Applicando i teoremi di trigonometria per i triangoli rettangoli, otteniamo: $$\begin{cases} x_P = r_P \cos \theta_P \\ y_P = r_P \sin \theta_P \end{cases}$$
Il procedimento che abbiamo appena visto può essere esteso nel caso in cui il sistema di riferimento cartesiano e la semiretta siano in posizioni qualsiasi, ma i calcoli sono molto laboriosi; quindi, per il momento, non ne parleremo.
A cosa servono le coordinate polari?
La costruzione del sistema di riferimento polare può sembrare una complicazione priva di scopo: in molti casi le coordinate cartesiane sono più che sufficienti a descrivere i punti e quindi le curve nel piano. Tuttavia, a volte, utilizzare le coordinate polari può semplificare sorprendentemente la rappresentazione di certi oggetti geometrici.
Come abbiamo fatto nel paragrafo precedente, negli esempi che seguono considereremo il sistema di riferimento polare in modo che la semiretta scelta coincida con la parte di asse $x$ corrispondente alle ascisse positive.
- Prendiamo una circonferenza centrata nell’origine degli assi. In coordinate cartesiane, la circonferenza ha equazione: $$x^2 + y^2 = a^2$$dove $a$ è il raggio della circonferenza. Ricordando però la definizione di circonferenza, notiamo che questa curva è composta da tutti i punti che distano la medesima distanza $a$ dall’origine $O$. Dato che la distanza di un punto da $O$ è proprio la coordinata $r$ nel sistema di riferimento polare, la circonferenza in coordinate polari è descritta dalla semplice equazione: $$r = a.$$
- Consideriamo le seguenti equazioni in coordinate polari: $$r = \frac{a}{1+e\cos \theta} \qquad r = \frac{a}{1+e\sin \theta}$$Ciascuna di queste due equazioni, dopo aver scelto un valore per i parametri $a$ e $e$, descrive una conica nel piano. In particolare quando $|e| > 1$ le equazioni descrivono un’iperbole, quando $|e| = 1$ descrivono una parabola e quando $|e| < 1$ descrivono un’ellisse. Il caso particolare $e = 0$ fornisce una circonferenza, ed è già stato analizzato, di fatto, al punto precedente.
- Con le coordinate polari possiamo descrivere anche altre curve che in coordinate cartesiane sarebbero molto difficili da rappresentare. Per esempio, se consideriamo la semplice equazione lineare: $$r = a + b \theta \qquad a, b \in \mathbb{R}$$e supponiamo che $\theta$ sia libero di assumere ogni valore in $\mathbb{R}$ (cioè, non lo limitiamo all’intervallo $[0, 2\pi)$ come invece viene richiesto nella definizione di coordinate polari) allora il grafico che otteniamo è la cosiddetta spirale archimedea, o spirale di Archimede. Nella figura qua sotto vediamo una spirale di questo tipo, con $a=1$ e $b = \frac{1}{2}$:
