Anche i numeri razionali si possono rappresentare su una retta orientata. Per fare questo dobbiamo scegliere un punto $\mathcal{O}$ sulla retta, l’origine, e associare ad esso il numero zero. Fissiamo poi un segmento unitario $\textbf{u}$ e scegliamo un verso di percorrenza, di solito da sinistra verso destra. Riportando successivamente il segmento unitario a partire dall’origine otteniamo dei punti che identifichiamo con i numeri interi $1, 2, 3, -1, -2, -3, \dots$.
Dato un numero razionale positivo, rappresentato dalla frazione $\frac{a}{n}$, il punto corrispondente al numero razionale sulla retta viene determinato nel seguente modo: si deve dividere il segmento unitario $\textbf{u}$ in tante parti uguali quante sono quelle indicate dal denominatore $n$ della frazione, ottenendo così la frazione unitaria $\frac{1}{n}$; a partire dal punto $\mathcal{O}$, procedendo nel verso scelto, si contano $a$ frazioni unitarie: l'ultimo punto rappresenta il numero razionale $\frac{a}{n}$.
Qualora ci trovassimo di fronte a una frazione impropria, ossia quando $a > n$, in alternativa si può scomporre la frazione impropria nella somma di un numero intero e di una frazione propria (cioè minore di $1$), quindi si rappresenta la frazione impropria a partire dal suo numero intero invece che partire da $\mathcal{O}$. Per esempio, per rappresentare la frazione $\frac{3}{2}$ trasformiamo la frazione in $1+\frac{1}{2}$, quindi rappresentiamo $\frac{1}{2}$ partendo dal numero $1$ invece che da $\mathcal{O}$.
Se il numero razionale è negativo, ci comportiamo come prima con l'avvertenza di muoverci nel senso opposto a quello precedente.
Il numero razionale rappresentato dalla frazione $\frac{a}{n}$ è minore del numero razionale rappresentato dalla frazione $\frac{b}{m}$, se nella retta orientata il punto che corrisponde alla frazione $\frac{a}{n}$ precede il punto che corrisponde alla frazione $\frac{b}{m}$ e si scrive $\frac{a}{n}$ < $\frac{b}{m}$. Viceversa $\frac{a}{n}$ è maggiore di $\frac{b}{m}$, se nella retta orientata il punto che corrisponde a $\frac{a}{n}$ segue il punto che corrisponde a $\frac{b}{m}$ e si scrive $\frac{a}{n}$ > $\frac{b}{m}$. Il numero razionale $\frac{a}{n}$ è equivalente a $\frac{b}{m}$ se nella retta orientata i punti che corrispondono alle due frazioni coincidono.
Per certe frazioni è facile vedere se una frazione precede o segue un'altra sulla retta, cioè quale è maggiore fra le due. Per altre non è così semplice. Consideriamo per esempio le frazioni $\frac{7}{9}$ e $\frac{6}{7}$. Quale frazione precede e quale segue? Il confronto non è immediato perché con la prima frazione si conta per unità frazionarie di tipo $\frac{1}{9}$, con la seconda per unità frazionarie di tipo $\frac{1}{7}$. In generale, senza ricorrere alla rappresentazione sulla retta, come si possono confrontare i numeri razionali? Conviene sostituire le frazioni date con altre equivalenti che hanno unità frazionarie dello stesso tipo: cioè occorre ridurre le frazioni allo stesso denominatore.
Ecco una procedura per confrontare due frazioni:
- si calcola il minimo comune multiplo dei denominatori delle frazioni
- si trasforma ciascuna frazione in una equivalente come segue:
- il nuovo denominatore è il m.c.m. trovato
- il nuovo numeratore si ottiene dividendo il m.c.m. per il denominatore della frazione data e moltiplicando il quoziente ottenuto per il numeratore della frazione data
- si confrontano i nuovi numeratori: la frazione più grande è quella che ha il numeratore più grande.
Un altro modo per confrontare due frazioni consiste nel “moltiplicare in croce” numeratori e denominatori delle frazioni: se dobbiamo confrontare le due frazioni $\frac{a}{n}$ e $\frac{b}{m}$, si confrontano i due numeri $ a \cdot m $ e $b \cdot n$. A questo punto, $\frac{a}{n} \lessgtr \frac{b}{m} \Longleftrightarrow a \cdot m \lessgtr b \cdot n$, cioè $\frac{a}{n}$ è maggiore o minore di $\frac{b}{m}$ a seconda che $a \cdot m $ sia maggiore o minore di $b \cdot n$.
Ad esempio: $\frac{3}{2} < \frac{5}{3}$, perché $3 \cdot 3 = 9 < 10 = 5 \cdot 2$.