Con i numeri razionali è sempre possibile eseguire le addizioni, le moltiplicazioni, le sottrazioni e le divisioni. In altre parole, poiché un numero razionale può essere scritto sotto forma di frazione, se si addizionano, si moltiplicano, si sottraggono, si dividono due frazioni il risultato è sempre una frazione.
Addizione
Se due frazioni hanno la stessa unità frazionaria allora è sufficiente sommare i numeratori delle frazioni e prendere come denominatore l'unità frazionaria comune. Per esempio, è noto che mezz'ora più mezz'ora fa un'ora: $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$. Anche un quarto d'ora più tre quarti d'ora fanno un'ora: $\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\frac{4}{4}=1$.
La somma di due frazioni con lo stesso denominatore è una frazione che ha per denominatore lo stesso denominatore delle frazioni date e per numeratore la somma dei numeratori.
Se le unità frazionarie sono diverse dobbiamo considerare frazioni equivalenti a quelle date che abbiano la stessa unità frazionaria, e poi eseguire l'addizione come indicato prima (cioè sommando i numeratori e lasciando lo stesso denominatore comune). In generale, data l'addizione di due frazioni $\frac{m}{n}+\frac{p}{q}$, la somma si può scrivere come $\frac{mq\ +\ pn}{nq}$. Quando si sommano due frazioni si può scegliere un qualsiasi denominatore comune, tuttavia per semplificare i calcoli conviene scegliere il più piccolo possibile, cioè il minimo comune multiplo.
Procedura per sommare due o più frazioni:
- ridurre le frazioni ai minimi termini;
- calcolare il minimo comune multiplo dei denominatori;
- mettere il minimo comune multiplo come denominatore della frazione somma;
- per ogni frazione dividere il m.c.m. per il suo denominatore e moltiplicare il risultato per il numeratore della frazione mantenendo il segno;
- calcolare la somma algebrica di tutti i numeri trovati;
- mettere la somma ottenuta come numeratore della frazione somma;
- ridurre ai minimi termini la frazione ottenuta.
Esempio: Sommare le frazioni $\frac{8}{12}-\frac{5}{6}+\frac{8}{5}-1$
Passo 1: riduco ai minimi termini le frazioni $\frac{2}{3}-\frac{5}{6}+\frac{8}{5}-\frac{1}{1}$
Passo 2: calcolo $mcm(3,6,5,1)=30$
Passo 3: la frazione somma avrà come denominatore il m.c.m. trovato $\frac{\dots}{30}$
Passo 4: per ogni frazione divido il m.c.m. per il suo denominatore e moltiplico il risultato per il numeratore: $$ \frac {2\ (30:3) - 5\ (30:6) + 8\ (30:5) - 1\ (30:1)}{30} = \frac{2 \cdot 10 - 5 \cdot 5+8 \cdot 6 - 30}{30} = \frac{20 - 25 + 48 - 30}{30}$$
Passo 5: calcolo la somma algebrica dei numeri ottenuti al numeratore $20 - 25 + 48 - 30 = +13$
Passo 6: metto la somma ottenuta al numeratore della frazione somma $+\frac{13}{30}$
Passo 7: vedo se posso ridurre la frazione, in questo caso no, il risultato è $+\frac{13}{30}$.
Sottrazione
La sottrazione di frazioni si può sempre trasformare in una addizione tra la prima frazione e l'opposto della seconda frazione, come per un’usuale somma algebrica.
Moltiplicazione
Il prodotto di due frazioni è una frazione che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori. Ricordarsi che è sempre meglio ridurre una frazione ai minimi termini.
Divisione
Il quoziente di due frazioni è la frazione che si ottiene moltiplicando la prima frazione per il reciproco della seconda frazione.
Potenza di una frazione
Come per ogni numero, anche per le frazioni, la potenza di una frazione non è altro che un prodotto di tante frazioni identiche alla frazione data quante volte è il valore dell'esponente, pertanto si trova elevando il numeratore e il denominatore della frazione all'esponente della potenza. $$\left( \frac{a}{b} \right) ^n=\frac{a^n}{b^n} $$
Potenza con esponente uguale a 0
La definizione di potenza si estende anche al caso in cui l'esponente è zero. Dividendo due potenze con la stessa base e con lo stesso esponente, si ha: $a^n:a^n = 1$, infatti dividendo due numeri uguali si ha 1. D'altra parte, applicando le proprietà delle potenze $a^n:a^n = a^0$, possiamo concludere che per ogni frazione o numero razionale $a$, diverso da zero, $a^0 = 1$. Non è invece possibile calcolare la potenza $0^0$.
Potenza con esponente un numero intero negativo
La definizione di potenza si può estendere anche al caso in cui l'esponente sia uguale a un numero intero negativo: $a^{-n}= a^0:a^n = \frac{1}{a^n}=\frac{1^n}{a^n}= \left( \frac{1}{a} \right)^n$. Si può definire allora per ogni numero razionale diverso da zero $a^{-n} = \left(\frac{1}{a}\right)^n$. La potenza di un numero diverso da zero elevato a un esponente intero negativo è uguale a una potenza che ha per base il reciproco della base e per esponente l'opposto dell'esponente. Non è definita invece la potenza con esponente negativo di $0$, il numero $0$ infatti non ha il reciproco. Pertanto $0^{-n}$ è una scrittura priva di significato.
Rimandiamo qui per alcuni esercizi sulle operazioni e sul confronto tra frazioni.