Le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione godono di alcune proprietà molto interessanti e utili. In questa lezione specificheremo quali proprietà valgono per ciascuna operazione, ponendo anche particolare attenzione a quali proprietà non sono soddisfatte, confrontando tra loro le varie operazioni.
Proprietà dell’addizione
L’addizione gode della proprietà commutativa, della proprietà associativa e di conseguenza anche della proprietà dissociativa. A differenza di quanto accade per la sottrazione e per la divisione, invece, l’addizione non gode della proprietà invariantiva. Inoltre non è nemmeno possibile definire una proprietà distributiva della somma rispetto a nessuna delle altre operazioni.
Vale la pena di notare che esiste un elemento neutro per la somma, che è il numero $0$: qualsiasi numero sommato a esso ha come risultato lo stesso numero di partenza. Inoltre, a patto di lavorare all’interno dei numeri reali (e non in insiemi troppo “piccoli” come l’insieme dei numeri naturali), ciascun numero ammette un inverso rispetto alla somma, cioè un altro numero che sommato a quello di partenza dà $0$. Dato un qualsiasi numero reale $a$, infatti, il suo inverso è semplicemente $-a$, dato che $$a + (-a) = a - a = 0$$Sottolineiamo che $-a$ viene solitamente chiamato opposto di $a$.
Proprietà della sottrazione
La sottrazione gode della proprietà invariantiva, ma non gode di nessuna altra proprietà (almeno tra quelle analizzate di solito in aritmetica).
È importante sottolineare che all’interno dei numeri reali - ma anche all’interno dei numeri razionali, o dei numeri interi - la sottrazione è sempre definita, mentre all’interno dei numeri naturali possono verificarsi dei problemi: per esempio, l’operazione $2 - 5$ (che è una sottrazione tra numeri naturali) ha come risultato un numero non naturale (ma appartenente a $\mathbb{Z}$).
A meno di non essere in contesti “elementari” (come, per esempio, quando si devono svolgere operazioni aritmetiche a mente, o nell’insegnamento della matematica per la scuola primaria) la sottrazione viene di solito messa in secondo piano, preferendo invece parlare sempre di addizione. Infatti l’operazione $a - b$ può essere sempre interpretata in questo modo: $$a - b = a + (-b)$$Chiaramente questo procedimento può essere messo in atto solamente al di fuori dell’insieme $\mathbb{N}$.
Proprietà della moltiplicazione
La moltiplicazione gode della proprietà commutativa, della proprietà associativa e dissociativa e anche della proprietà distributiva rispetto all’addizione e alla sottrazione; non gode invece della proprietà invariantiva.
La moltiplicazione ammette un elemento neutro: è il numero $1$, dato che qualsiasi numero moltiplicato per $1$ rimane invariato. Se stiamo lavorando all’interno dei numeri reali ciascun numero (a parte lo $0$) ammette anche un inverso, cioè un altro numero che moltiplicato per quello di partenza dia $1$ come prodotto, detto reciproco: se $a$ è un numero reale, in genere il suo reciproco viene indicato con $\frac{1}{a}$ e si ha $$a \cdot \frac{1}{a} = \frac{a}{a} = a : a = 1$$Anche all’interno dei numeri razionali è possibile parlare di inverso di un numero, ma appena restringiamo il nostro raggio d’azione a $\mathbb{Z}$ non è più possibile definire il concetto di inverso rispetto alla moltiplicazione.
Ricordiamo inoltre che qualsiasi numero moltiplicato per zero dà come risultato zero. Questa proprietà sta alla base della legge di annullamento del prodotto per i numeri reali: presi $a,b \in \mathbb{R}$ si ha $$a \cdot b = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 0 \vee b = 0$$
Proprietà della divisione
La divisione gode della proprietà invariantiva e della proprietà distributiva rispetto all’addizione e alla sottrazione, ma non gode della proprietà commutativa, associativa e dissociativa.
Come accadeva per la sottrazione, anche per la divisione ci possono essere dei problemi a seconda dell’insieme numerico all’interno del quale si sta lavorando. Infatti, la divisione tra due numeri interi può tranquillamente non essere un numero intero (per esempio il risultato di $3 : 5$ non lo è) mentre a patto di considerare $\mathbb{Q}$ come insieme ambiente allora la divisione è sempre ben definita, fermo restando che non è mai possibile dividere per $0$.
Sempre in analogia con quanto fatto per la sottrazione, è possibile vedere la divisione come un “caso particolare” della moltiplicazione. Infatti, per opportuni numeri reali $a$ e $b$, possiamo sempre scrivere:$$a : b = \frac{a}{b} = a \cdot \frac{1}{b}$$In altre parole, dividere $a$ per $b$ è equivalente a moltiplicare $a$ per il reciproco di $b$.