Le disequazioni di secondo grado: risoluzione

Definizione

Una disequazione è di 2° grado se, dopo opportune operazioni algebriche, si può scrivere in una delle seguenti forme:
##KATEX##\begin{aligned}ax^2+bx+c & \geq 0 \\ax^2+bx+c & > 0\\ax^2+bx+c & \leq 0 \\ax^2+bx+c & < 0\end{aligned}##KATEX##
con $a, b, c$ reali e $a \neq 0$ (altrimenti si eliminerebbe il termine di secondo grado).
Data una disequazione in questa forma, si dice che $ax^2+bx+c=0$ è l'equazione associata alla disequazione.

La risoluzione di una disequazione di secondo grado consiste di quattro passi.

1. Se $a<0$, moltiplichiamo la disequazione data per $-1$, in modo che il coefficiente di 2° grado sia positivo e facendo attenzione a invertire il verso della disequazione. Se $a>0$, invece, saltiamo questo passaggio.
   ATTENZIONE: i coefficienti che useremo nei passi successivi, così come il verso della disequazione che consideriamo, sono quelli ottenuti nella disequazione successivamente a questa eventuale trasformazione, ovvero quando $a > 0$.
   
   Per esempio, consideriamo l'equazione $-7x^2-3x+2 > 0$. Moltiplicando per $-1$ otteniamo $7x^2+3x-2 < 0$ (notiamo che il verso della disequazione è cambiato). Così ora abbiamo ancora una disequazione di 2° grado, ma $a>0$; i nuovi coefficienti della disequazione sono: $a=7$, $b=3$, $c=-2$, e il verso sarà $<$.
2. Risolviamo l'equazione associata alla disequazione data. Abbiamo quindi tre possibili casi, a seconda del valore della quantità $\Delta = b^2-4ac$:
   • $\Delta > 0$, cioè l'equazione ha due soluzioni reali distinte. In questo caso chiameremo le due soluzioni $x_1$ e $x_2$, con $x_1 < x_2$;
   • $\Delta = 0$, cioè l'equazione ha due soluzioni reali coincidenti $x_1=x_2$;
   • $\Delta <0$, cioè l'equazione non ha soluzioni reali.
3. Studiamo il segno del polinomio $ax^2 + bx + c$. Per fare questo, disegniamo la retta dei numeri reali e posizioniamo i valori delle eventuali radici dell’equazione associata su di essa. Indichiamo con un tratto di linea continuo i valori tali che $ax^2+bx+c > 0$ e con un tratto di linea tratteggiato i valori tali che $ax^2+bx+c < 0$, secondo i seguenti schemi.
   • Se $\Delta >0$, abbiamo due radici $x_1 < x_2$ che rappresentiamo sulla retta reale in questo modo:
     
     Questo significa che per valori di $x$ minori di $x_1$ il polinomio di 2° grado $ax^2+bx+c$ è positivo, tra $x_1$ e $x_2$ è negativo, poi è nuovamente positivo. Per $x = x_1$ o $x = x_2$ il polinomio è uguale a zero (dato che $x_1$ e $x_2$ sono radici dell’equazione associata).
   • Se $\Delta = 0$, abbiamo una sola radice $x_1$:
     
     Questo significa che il polinomio $ax^2+bx+c$ è sempre positivo, tranne in $x_1$ dove è uguale a zero.
   • Se $\Delta <0$, il polinomio $ax^2+bx+c$ non ha radici ed è sempre positivo. Questa situazione viene schematizzata rappresentando la retta reale come una linea continua:
     
4. Confrontiamo gli schemi precedenti con la richiesta della disequazione (cioè guardando quale simbolo tra $\geq, >, \leq, <$ compare dopo il polinomio), per determinare l’insieme delle soluzioni della disequazione data. Riepiloghiamo le possibili soluzioni della disequazione nella seguente tabella:
   

   	$\Delta > 0$	$\Delta = 0$	$\Delta < 0$
   $ax^2+bx+c\geq 0$, $a >0$	$x\leq x_1\, \vee\, x\geq x_2$	$\forall x \in \mathbb R$	$\forall x \in \mathbb R$
   $ax^2+bx+c > 0$, $a >0$	$x < x_1\, \vee\, x > x_2$	$\forall x \in \mathbb R, \, x\neq x_1$	$\forall x \in \mathbb R$
   $ax^2+bx+c\leq 0$, $a >0$	$x_1 \leq x \leq x_2$	unica soluzione $x=x_1$	impossibile
   $ax^2+bx+c < 0$, $a >0$	$x_1 < x < x_2$	impossibile	impossibile

Vediamo alcuni esempi in cui applicare il metodo appena esposto.

• Consideriamo l'equazione $3x^2+4x+1 \leq 0$.
  1. Poiché $a=3>0$, non c'è bisogno di trasformare la disequazione.
  2. Risolvendo l'equazione di 2° grado, otteniamo $\Delta=4^2-4\cdot 3 \cdot 1 >0$. Le due soluzioni dell'equazione sono $x_1=-1$ e $x_2=-\frac{1}{3}$.
  3. Lo schema risolutivo è:
     
     Questo schema ci dà il segno del polinomio $3x^2+4x+1$.
  4. Noi vogliamo sapere quando tale polinomio è minore o uguale a 0. Osservando lo schema risolutivo o consultando la tabella sopra otteniamo la soluzione della disequazione: $-1 \leq x \leq -\frac{1}{3}$.
• Consideriamo l'equazione $- 4x^2+20x-25 <0$.
  1. Per avere $a>0$, moltiplichiamo per $-1$ e cambiamo verso alla disequazione: $4x^2-20x+25 > 0$. Perciò da ora "dimentichiamo" la disequazione di partenza e lavoriamo solo su questa sua scrittura equivalente.
  2. Risolviamo l'equazione associata: $\Delta = 0$ e $x_1=x_2=\frac{5}{2}$.
  3. Il segno del polinomio $4x^2-20x+25$ è dato dallo schema: 
     
  4. La disequazione da risolvere è $4x^2-20x+25 > 0$, quindi dobbiamo individuare dove il polinomio di 2° grado è positivo. Osservando lo schema o consultando la tabella troviamo la soluzione della disequazione: $\forall x \in \mathbb R$, $x\neq \frac{5}{2}$.
• Consideriamo l'equazione $5x^2+9 \geq 0$.
  1. Il coefficiente $a$ è positivo, quindi non dobbiamo trasformare la disequazione.
  2. Risolvendo l'equazione associata, otteniamo $\Delta<0$: l'equazione non ha soluzioni.
  3. Il polinomio è sempre positivo: lo schema corrispondente è una linea continua.
  4. La soluzione della disequazione $5x^2+9 \geq 0$ è: $\forall x \in \mathbb R$.

Nel caso questi esempi non fossero abbastanza, abbiamo preparato un video con alcuni esercizi svolti sulle disequazioni di secondo grado. 

Il perché dello schema risolutivo: il metodo della parabola

Può sembrare complicato imparare gli schemi mostrati al punto 3 del procedimento risolutivo, o ricordarsi a memoria la tabella al punto 4. In questa sezione spieghiamo perché gli schemi al punto 3 sono fatti proprio in quel modo, in modo da facilitare la risoluzione di una disequazione di secondo grado, introducendo il metodo della parabola.

Consideriamo una disequazione di secondo grado, con polinomio $ax^2 + bx + c$. Nel piano cartesiano le soluzioni dell'equazione $y=ax^2+bx+c$ (cioè, le coppie $(x, y)$ che soddisfano l’equazione) si possono rappresentare con una parabola. In particolare, se $a>0$ la parabola è "rivolta verso l'alto" e se $a<0$ è "rivolta verso il basso".

I punti dell'asse $x$ che appartengono anche alla parabola (se ci sono) rappresentano le soluzioni dell'equazione $ax^2+bx+c=0$, dato che questi punti hanno ordinata $0$ e, contemporaneamente, soddisfano l’equazione $y = ax^2 + bx + c$. Seguendo un ragionamento analogo, le ascisse dei punti della parabola che si trovano sopra l’asse $x$ soddisfano la disequazione $ax^2 + bx + c > 0$, mentre le ascisse dei punti che si trovano sotto l’asse $x$ soddisfano la disequazione $ax^2 + bx + c < 0$. A partire da queste considerazioni si ottiene un metodo, alternativo ma strettamente collegato a quello visto precedentemente, per studiare il segno del polinomio $ax^2+bx+c$.

Analizziamo il caso in cui $a>0$, dato che possiamo ricondurci sempre a un polinomio di questo genere. Abbiamo tre situazioni possibili a seconda del segno del $\Delta$.

• Se $\Delta > 0$ l’equazione $ax^2 + bx + c = 0$ ha due radici distinte $x_1$ e $x_2$, e quindi la parabola ha due intersezioni con l’asse $x$, le cui ascisse sono $x_1$ e $x_2$. Quando $x < x_1$ e $x > x_2$, il grafico della parabola è sopra l’asse $x$; quindi per questi valori $ax^2 + bx + c > 0$. Quando $x_1 < x < x_2$ il grafico della parabola è sotto l’asse $x$, quindi per questi valori $ax^2 + bx + c < 0$.
  
• Se $\Delta = 0$ l’equazione $ax^2 + bx + c = 0$ ha una radice $x_1$, e quindi la parabola ha una intersezione con l’asse $x$, la cui ascissa è $x_1$. Quando $x \neq x_1$, il grafico della parabola è sopra l’asse $x$, e quindi per questi valori $ax^2 + bx + c > 0$.
  
• Se $\Delta < 0$, l’equazione $ax^2 + bx + c = 0$ non ha radici, e quindi la parabola non ha intersezioni con l’asse $x$. La parabola allora starà interamente sopra l’asse $x$, e quindi $ax^2 + bx + c > 0$ per ogni scelta di $x$.
  

Questo metodo giustifica quindi gli schemi risolutivi introdotti al terzo passo del procedimento algebrico.

Sottolineiamo, in ogni caso, che si possono fare rappresentazioni analoghe anche nel caso in cui $a<0$, a patto di “girare” la parabola nel piano cartesiano.