Se consideriamo un’equazione di primo grado a una incognita, sappiamo che questa equazione avrà sempre una soluzione, a parti alcuni casi particolari (equazioni impossibili o indeterminate). Cosa succede quando consideriamo un'equazione di primo grado con due incognite?
Senza complicarci troppo la vita, consideriamo un semplice esempio, per provare a fare chiarezza. Consideriamo l’equazione $$x+y = 1$$Quali sono le soluzioni di questa equazione, cioè: quali sono le coppie di valori $a$ e $b$ che sostituiti rispettivamente a $x$ e $y$ rendono vera l’equazione? Facendo alcune prove, si vede subito che le coppie $(a, b) = (1, 0)$ e $(a, b) = (2, -1)$ sono soluzioni accettabili, ma sono possibili anche soluzioni meno ovvie come $(a, b) = \left ( \frac{2}{3}, \frac{1}{3} \right ) $ o anche $(a,b) = \left ( -\frac{2}{7}, \frac{9}{7} \right )$. Con un po’ di riflessione, non è difficile convincersi che in realtà tutte le coppie del tipo $$(a, b) = (t, 1-t), \quad t \in \mathbb{R}$$sono delle soluzioni per la nostra equazione. Abbiamo appena affermato, quindi, che le soluzioni di un'equazione di primo grado a due incognite sono infinite, perché sono tante quanti sono i numeri di $\mathbb{R}$, dato che per ogni scelta di un numero $t \in \mathbb{R}$ otteniamo una coppia $(a, b)$ che soddisfa l’equazione.
Per quanto detto prima, sembra quindi naturale pensare alle soluzioni di un’equazione di primo grado a due incognite come a $\mathbb{R}$, cioè la retta dei numeri reali. In effetti, utilizzando la Geometria Analitica si può mostrare che la nostra equazione $x+y = 1$ è rappresentabile come una retta nel piano cartesiano; o meglio, che l’insieme delle soluzioni che soddisfano questa equazione costituisce un grafico all’interno del prodotto cartesiano $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ (che è proprio il piano cartesiano), e che questo grafico è una retta.
Da un certo punto di vista questa notizia non è molto confortante: data un’equazione, è ragionevole richiedere che ci sia una soluzione che la soddisfa, non un’infinità di soluzioni tra le quali scegliere. È però evidente che una sola equazione a due incognite contiene “troppe poche informazioni” per determinare una soluzione univoca. Un tentativo potrebbe essere quello di considerare due equazioni di primo grado a due incognite.
Definizione
Un sistema lineare di due equazioni a due incognite (o anche sistema di due equazioni di primo grado a due incognite) è l’insieme di due equazioni di primo grado con due incognite, considerate contemporaneamente: cioè, considerate in modo che entrambe siano verificate nello stesso momento.
Possiamo anche introdurre una definizione più generale, di cui questa è un caso particolare:
Definizione
Si dice sistema di equazioni un insieme di due o più equazioni considerate contemporaneamente.
Inoltre, una soluzione per un sistema di equazioni a due incognite è una coppia di numeri $(a, b)$ che soddisfa contemporaneamente tutte le equazioni presenti nel sistema.
Giusto per far apprezzare meglio la differenza, segnaliamo gli esempi più comuni di sistemi di equazioni non lineari: i sistemi di secondo grado e i sistemi simmetrici.
Torniamo quindi all’equazione $x+y = 1$ e, come si dice di solito, la mettiamo a sistema con un’altra equazione di primo grado a due incognite, come per esempio $2y = x+5$. La notazione standard che si usa per rappresentare un sistema del genere è:
##KATEX##\begin{cases}x + y = 1 \\2y = x+5\end{cases}##KATEX##
Cerchiamo una soluzione per il nostro sistema, ovvero una coppia di numeri $(a, b)$ che sostituita al posto di $x$ e $y$ soddisfi contemporaneamente la prima e la seconda equazione. Come primo tentativo, potremmo prendere tutte le soluzioni della prima equazione e vedere quali di queste sono anche soluzioni della seconda, ma è chiaro che questo metodo non è molto efficiente: come possiamo pensare controllare infinite coppie di numeri? Per di più, si verifica subito che nessuna delle soluzioni di $x+y = 1$ che abbiamo trovato prima (cioè le coppie $(1,0), (2, -1), \left ( \frac{2}{3}, \frac{1}{3} \right ) , \left ( -\frac{2}{7}, \frac{9}{7}\right ) $) è anche soluzione di $2y = x+5$.
Così facendo, inoltre, stiamo dando per scontato che un sistema abbia una sola soluzione. Chi ci dice che una soluzione che vada bene per entrambe le equazioni esista davvero, per esempio? O al contrario: potrebbero esserci infinite coppie che vanno bene per entrambe le equazioni?
Si capisce quindi che l’analisi di un sistema lineare di due equazioni a due incognite è in generale un problema non banale. Per trovare una soluzione al problema generale facciamo riferimento all’interpretazione geometrica che abbiamo dato di un’equazione lineare a due incognite. Questa interpretazione ci assicura che l’insieme delle soluzioni di ogni equazione di primo grado può essere rappresentata con una retta disegnata su un piano.
Consideriamo due equazioni, cioè due rette nel piano: che rapporti possono esserci tra di loro? Le alternative sono solo tre:
- le rette sono incidenti;
- le rette sono parallele;
- le rette sono coincidenti, cioè sono la stessa retta.
Dato che il grafico della retta è una rappresentazione delle soluzioni dell’equazione a essa associata, possiamo dire che:
- se le rette sono incidenti, cioè se le i due grafici hanno un solo punto in comune, significa che le equazioni a esse associate hanno una soluzione in comune;
- se le rette sono parallele, cioè se i due grafici non hanno nessun punto in comune, significa che le equazioni a esse associate hanno insiemi delle soluzioni distinti tra loro, cioè non hanno nessuna soluzione in comune;
- se le rette sono coincidenti, significa che le soluzioni di un'equazione sono le stesse soluzioni dell’altra equazione, e quindi il sistema ha infinite soluzioni.
Questa analisi geometrica ci permette di arrivare alla seguente conclusione.
TEOREMA: Un sistema lineare di due equazioni a due incognite può avere alternativamente:
- una sola soluzione;
- nessuna soluzione;
- infinite soluzioni.
Questo risultato è in accordo con i metodi che ci permettono di ricavare il valore effettivo delle soluzioni di un sistema lineare. Per approfondire, si vedano le pagine dedicate al metodo di sostituzione, al metodo di riduzione, al metodo di Cramer e al metodo del confronto.
Torniamo all’esempio di prima:
##KATEX##\begin{cases}x + y = 1 \\2y = x+5\end{cases}##KATEX##
Sappiamo che ciascuna equazione è rappresentabile come una retta nel piano cartesiano. Proviamo a disegnarle, per capire se questo sistema ha una, nessuna o infinite soluzioni.
Dato che $(1, 0)$ e $(2, -1)$ sono soluzioni per la prima equazione, la retta $r$ corrispondente passerà per forza per i punti $P: (1, 0)$ e $Q: (2, -1)$ del piano cartesiano. Per due punti passa una sola retta: quindi, siamo sicuri che la retta che passa per $P$ e $Q$ sia proprio $r$.
Allo stesso modo possiamo rappresentare la retta $s$ associata all’equazione $2y = x+5$. Due soluzioni per questa equazione sono, per esempio, le coppie $(1, 3)$ e $(-3, 1)$: per trovare questi punti, basta sostituire $x=1$ e $x=-3$ nell'equazione della retta e capire qual è la coordinata $y$ corrispondente ($y = \frac{1+5}{2} = 3$ e $y = \frac{-3+5}{2} = 1$ rispettivamente). La retta $s$ passerà quindi per i punti $A: (1, 3)$ e $B: (-3, 1)$ del piano cartesiano.
Le rette sono incidenti: quindi il sistema considerato ha una sola soluzione, rappresentata dal punto $C$. In particolare - anche se non mostriamo i conti necessari a trovarla, per il momento- la soluzione è la coppia $(-1, 2)$ (ovvero, le coordinate di $C$ sono $(-1, 2)$).
È possibile mostrare, invece, che gli insiemi delle soluzioni delle equazioni di questo sistema si possono rappresentare come due rette parallele:
##KATEX##\begin{cases}x + y = 1 \\x + y = 3\end{cases}##KATEX##
Di conseguenza questo sistema non ha soluzioni. Osservando le equazioni con attenzione questo non ci sorprende: non esiste una coppia di numeri che sommati dia contemporaneamente $1$ e $3$!
Prendiamo adesso le equazioni di quest'altro sistema:
##KATEX##\begin{cases}x + y = 1 \\2y +2x = 2\end{cases}##KATEX##
Le soluzioni di queste equazioni si possono rappresentare con la stessa retta, e quindi questo sistema ha infinite soluzioni. In questo caso avremmo potuto accorgercene in fretta anche algebricamente: se dividiamo ambo i membri della seconda equazione per $2$, otteniamo esattamente la prima equazione. L’idea di questo ragionamento è che $2x +2y = 2$ non “aggiunge informazioni” in più rispetto a quelle che abbiamo già dalla prima equazione che ci possano aiutare a individuare una sola delle infinite coppie di valori che soddisfano la prima equazione.
Revisione scientifica a cura di Marco Guglielmino