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Il metodo di sostituzione per i sistemi lineari

In questa lezione, abbiamo introdotto il concetto di sistema lineare di due equazioni in due incognite, dandone anche un’intepretazione grafica. Questa lezione sarà invece dedicata alla spiegazione di un metodo di risoluzione per un sistema di questo tipo (per poi generalizzare a un sistema di $n$ equazioni in $n$ incognite), che solitamente viene chiamato metodo di sostituzione. Altri metodi per risolvere un sistema lineare di questo genere sono il metodo di Cramer, il metodo della sottrazione o riduzione e il metodo del confronto.

 

Per vedere di cosa si tratta, procediamo direttamente con un esempio. Consideriamo il sistema:
##KATEX##\begin{cases}4x+y=2 \\2y+x+3=0\end{cases}##KATEX##
Per prima cosa, scegliamo una delle due equazioni del sistema ed esplicitiamo una delle due variabili (cioè, modifichiamo l’equazione in modo da tenere a sinistra la variabile scelta e a destra tutti i termini che non la contengono). Per esempio, scegliamo la prima equazione ed esplicitiamo la variabile $y$:
##KATEX##\begin{cases}y=2-4x \\2y+x+3=0\end{cases}##KATEX##

La prima equazione sostanzialmente ci dice che ogni volta che vediamo scritto $y$, in realtà possiamo scrivere $2-4x$ al suo posto. Possiamo fare questa sostituzione nella seconda equazione del sistema, ottenendo: $$2 \cdot (2-4x )-x + 3=0$$che viene di solito chiamata equazione risolvente del sistema.

Risolviamo l’equazione che abbiamo ottenuto, che è una equazione di primo grado in $x$:
##KATEX##\begin{aligned}2(2-4x )-x + 3 & =0 \\4-8x + x+ 3 & = 0 \\-7x & = -7 \\x & = 1\end{aligned}##KATEX##

Il valore $x=1$ è la prima parte della soluzione del nostro sistema. Adesso rimane da determinare la $y$ associata a $x=1$; possiamo trovarla, per esempio, sostituendo $x=1$ all’interno dell’equazione che abbiamo utilizzato per esplicitare $y$: $$y = 2 - 4 \cdot 1 = -2$$Di conseguenza la soluzione del nostro sistema è la coppia $(1, -2)$. Per verificarlo, basta sostituire questi valori nelle due equazioni del sistema e vedere che entrambe le equazioni sono verificate.


In generale, possiamo dire che il metodo di sostituzione consiste di quattro passi:

  1. esplicitare una delle due variabili in una delle due equazioni del sistema;
  2. sostituire nell’altra equazione l’espressione corrispondente alla variabile esplicitata, per ottenere l’equazione risolvente;
  3. cercare l’eventuale soluzione dell’equazione risolvente del sistema;
  4. se al punto 3 si è trovata una soluzione, sostituirla in una equazione contenente entrambe le variabili per determinare il valore dell’incognita non ancora trovata, e quindi scrivere la soluzione del sistema.


Nello spiegare il procedimento del metodo di sostituzione, siamo stati abbastanza cauti nel passare dal punto $3$ al punto $4$: in effetti, nessuno ci garantisce che l’equazione risolvente del sistema abbia soluzione. Infatti questa è una equazione di primo grado, che potrebbe benissimo essere impossibile o indeterminata.
Facciamo qualche esempio per far vedere delle situazioni di questo genere.

  • Consideriamo il sistema:
    ##KATEX##\begin{cases}5y-4x=2 \\\frac{5}{2}y = 1 + 2x\end{cases}##KATEX##
    Vogliamo scegliere una equazione in cui esplicitare una delle due variabili. Scegliamo la seconda equazione e la variabile $x$:$$\begin{cases}5y-4x=2 \\2x = \frac{5}{2}y-1\end{cases} \quad \Rightarrow \quad\begin{cases}5y-4x=2 \\x = \frac{5}{4}y-\frac{1}{2}\end{cases} $$
    Sostituendo nella prima equazione quanto ottenuto per la variabile $x$, otteniamo la risolvente:
    ##KATEX##\begin{aligned}5y -4 \left (\frac{5}{4}y-\frac{1}{2} \right ) & = 2 \\5y - 5y + 2 & = 2 \\2 & = 2\end{aligned}##KATEX##
    La risolvente è dunque una equazione impossibile e questo ci dice quindi che il sistema che abbiamo considerato è impossibile.
  • Consideriamo il sistema:
    ##KATEX##\begin{cases}-2y-4x=1 \\\frac{1}{2} + 2x + y = 0\end{cases}##KATEX##
    Prendiamo la seconda equazione ed esplicitiamo la variabile $y$:
    ##KATEX##\begin{cases}-2y-4x=1 \\y = - \frac{1}{2} -2x\end{cases}##KATEX##
    A questo punto otteniamo l’equazione risolvente:
    ##KATEX##\begin{aligned}-2 \left ( -\frac{1}{2} - 2x \right ) -4x & = 1 \\1 +4x - 4x & = 1 \\0 & = 0\end{aligned}##KATEX##
    Questa è una equazione indeterminata, e quindi questo significa che il sistema che abbiamo considerato è indeterminato (cioè, ha infinite soluzioni).

 

Quali sono i pro e i contro del metodo di sostituzione?

PRO:

  • molto facile da memorizzare;
  • funziona sempre;
  • è molto meccanico e non richiede particolare inventiva.


CONTRO:

  • a volte i calcoli diventano molto lunghi e altri metodi sarebbero molto più efficienti;
  • la generalizzazione a $n$ equazioni e $n$ incognite è molto laboriosa (vedi prossimo paragrafo).


Per chi volesse approfondire ulteriormente il metodo di sostituzione, ecco un video dove abbiamo svolto un esercizio con il metodo di sostituzione (e anche con il metodo di riduzione).

 

Applicazione del metodo a sistemi lineari di $n$ equazioni in $n$ incognite

In linea di principio, è possibile applicare il metodo di sostituzione ad un sistema lineare arbitrario, contenente $n$ equazioni in $n$ incognite.

Prima di scrivere la regola generale, partiamo direttamente con un esempio. Consideriamo un sistema lineare di $3$ equazioni in $3$ incognite:
##KATEX##\begin{cases}-x+ y -z = 2 \\2x-z=3 \\y + 2x = -1\end{cases}##KATEX##
Possiamo provare a replicare quello che abbiamo fatto prima. Esplicitiamo ad esempio la $x$ nella prima equazione:
##KATEX##\begin{cases}x= y - z - 2 \\2x-z=3 \\y + 2x = -1\end{cases}##KATEX##

Sostituendo quanto ottenuto per $x$ nelle altre equazioni, otteniamo:$$\begin{cases}x= y - z - 2 \\2(y - z - 2)-z=3 \\y + 2(y - z - 2) = -1\end{cases} \quad \Rightarrow \begin{cases}x= y - z - 2 \\2y - 2z - 4-z=3 \\y + 2y - 2z - 4 = -1\end{cases} \quad \Rightarrow\begin{cases}x= y - z - 2 \\2y - 3z =7 \\3y - 2z = 3\end{cases}$$
Le ultime due equazioni contengono solo due variabili ($y$ e $z$), quindi possono essere considerate a tutti gli effetti come un sistema di due equazioni a due incognite:
##KATEX##\begin{cases}2y - 3z =7 \\3y - 2z = 3\end{cases}##KATEX##
Possiamo risolvere questo sistema utilizzando il metodo esposto prima. Facendo i calcoli, si può vedere che la soluzione per il sistema ottenuto è $(y, z) = (-1, -3)$.
A questo punto sostituiamo questi valori che abbiamo appena ottenuto in una delle equazioni del sistema originale (ad esempio la prima): $$x= (-1) - (-3) - 2 = -1+3-2=0$$In conclusione, il sistema da cui siamo partiti ha come soluzione $(x, y, z) = (0, -1, -3)$.

Cerchiamo di generalizzare il procedimento che abbiamo appena fatto per un sistema di $n$ equazioni con $n$ incognite.

  1. Per prima cosa si esplicita una incognita in una delle equazioni del sistema.
  2. Successivamente, si sostituisce l’espressione ottenuta in tutte le altre equazioni del sistema. Nel caso generale, quello che otteniamo è fondamentalmente lo stesso sistema di prima, ma l’incognita esplicitata non compare più (al suo posto c’è una espressione contenente le altre incognite); inoltre una delle equazioni è stata “incorporata” nelle altre, e quindi è sostanzialmente inutile ai fini della risoluzione del sistema. Ci troviamo quindi con un sistema con una equazione e una incognita in meno rispetto a prima: cioè con un sistema a $n-1$ equazioni e $n-1$ incognite.
  3. In questo nuovo sistema possiamo di nuovo ripetere il procedimento, per arrivare ad un sistema di $n-2$ equazioni con $n-2$ incognite. Procedendo ripetutamente con le sostituzioni, si arriverà prima o poi ad avere un sistema a due equazioni e due incognite, che sappiamo risolvere. Successivamente ad aver determinato i valori delle due incognite del sistema finale, si può procedere a ritroso per determinare il valore di tutte le altre.


È importante sottolineare che il procedimento è descritto nel caso generale: nella pratica, dopo ogni sostituzione si potrebbe ottenere un’equazione impossibile o indeterminata (e quindi il sistema di partenza sarebbe rispettivamente impossibile o indeterminato).