L'insieme delle soluzioni

Ciao Antonio! Beh... sì e no. Diciamo che l'ultima parte della tua domanda è corretta: quando andiamo a considerare il modulo e dividiamo la disequazione in due sistemi di disequazioni, e quindi (nell'esempio che hai fatto tu) la "parte" $ x - 2 < 3x + 1 $ "vive" solo nell'universo in cui $ x - 2 \geq 0 $. Ma la prima parte della tua domanda ti pone in errore: mentre una singola espressione può avere un segno, a seconda dei valori che le variabili assumono, un sistema di disequazioni non ha un segno. Per risolvere un sistema (di qualsiasi cosa) occorre risolvere separatamente i singoli elementi (equazioni o disequazioni che siano), indicandone le varie soluzioni $\mathcal{S}_1$, $\mathcal{S}_2$, eccetera: ti ricordo che la soluzione di una disequazione o di un'equazione altri non è che l'insieme dei valori della variabile che rendono vera l'espressione in questione. Ora, un sistema di espressioni è verificato quanto $tutte$ le espressioni che lo compongono sono verificate: si tratta quindi di fare l'intersezione insiemistica delle varie soluzioni, dato che l'intersezione traduce l'avverarsi contemporaneo di più condizioni, come spiegato qui https://library.weschool.com/lezione/insieme-complementare-unione-universo-prodotto-cartesiano-insiemistica-12687.html. Il tuo sistema, $\begin{cases} x - 2 \geq 0 \\ x - 2 < 3x + 1 \end{cases} $, ha due disequazioni, di soluzione la prima $\mathcal{S}_1 = \{ x \in \mathbb{R} \ | \ x \geq 2 \}$ e la seconda $\mathcal{S}_2 = \{ x \in \mathbb{R} \ | \ x > -\frac{3}{2} \}$: l'intersezione $\mathcal{S}_1 \cap \mathcal{S}_2$ è, come si scopre facilmente rappresentando i due insiemi sulla retta numerica, solo $\{ x \in \mathbb{R} \ | \ x \geq 2 \}$, che è quindi la soluzione del sistema. Lo studio dei segni, invece, si fa quando ci si trova davanti ad una espressione fatta da più fattori moltiplicati o divisi fra loro, come ad esempio spiegato in questo video https://library.weschool.com/lezione/disequazioni-razionali-esercizi-2304.html. Spero di essere stato chiaro! Chiedi pure se hai altri dubbi :3 Ciao e buona serata