Una disequazione razionale è costituita da un'espressione in cui compare una frazione algebrica, ossia una frazione tra due polinomi, la quale è stata posta maggiore, maggiore o uguale, minore, minore o uguale a $0$.
Per risolvere le disequazioni razionali è utile ricordare il procedimento che si usa per risolvere le disequazioni in cui compaiono prodotti, dato che è praticamente lo stesso.
- Innanzitutto, analizziamo il segno di ciascun fattore, e lo indichiamo su di una retta numerica, avendo cura di contrassegnare con dei $+$ la regione in cui tale fattore è positivo e con dei $-$ dove esso è negativo. Facciamo notare che, in questa fase, non ha alcuna importanza il simbolo che compare nella disequazione: ci interessano tutti i segni che assume ciascun fattore.
- Quando abbiamo finito di riportare il segno di ogni fattore, usiamo la regola dei segni per determinare il segno che il prodotto dei fattori viene ad assumere.
- Solo a questo punto andiamo a confrontare i segni così ottenuti con quanto viene richiesto nella disequazione, trovando così la soluzione.
Facciamo presente che le disequazioni in cui compare il prodotto di due fattori di primo grado sono effettivamente delle disequazioni di secondo grado.
Le disequazioni fratte si risolvono nello stesso modo, ma bisogna prestare particolare attenzione al denominatore: non ha significato, infatti, dividere per $0$. Di conseguenza, tutti i valori per cui il denominatore si annulla vanno esclusi dalla soluzione: si tratta delle condizioni di esistenza della frazione algebrica.
Se, al posto di soli fattori di primo grado, iniziano a comparire fattori di grado superiore, il procedimento rimane a grandi linee lo stesso, ma si complica un po': lo illustriamo nella prossima lezione.