Calcolo della probabilità
Aiutatemi, per favore, a risolvere questo esercizio: Nel corso di una malattia effettiva possono risultare positivi tre test diagnostici. Il test A è positivo nel 50% dei casi, il test B nell'70% dei casi e test C nell'80% dei casi. Supponendo che la positività dei test siano eventi compatibili indipendenti, si valuti la probabilità che durante la malattia sia positivo: a) almeno un test; b) solo test A; c) uno solo tra i test A e B.
il 06 Gennaio 2016, da Elena Shirokova
Ciao Elena! Ti consigli innanzitutto di guardati questi video, che spiegano i concetti di eventi compatibili https://library.weschool.com/lezione/utilizzare-teorema-della-probabilita-totale-per-esercizi-problemi-9438.html e di eventi indipendenti https://library.weschool.com/lezione/come-risolvere-problemi-eventi-dipendenti-calcolo-probabilita-9439.html. Se tre eventi sono indipendenti, significa che la probabilità delle loro intersezioni si può fattorizzare nel prodotto delle singole probabilità: $$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B), \ P(B \cap C) = P(B) \cdot P(C), \ P(C \cap A) = P(C) \cdot P(A) \text{ e } \ P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) $$Detto questo, cerchiamo di tradurre in "matematichese" le richieste dell'esercizio: la richiesta $a)$ vuole farci calcolare la probabilità che sia risultato positivo almeno uno dei test. "Almeno uno" significa che si è verificato o $A$, o $B$, o $C$, e questi eventi non si escludono a vicenda (sono compatibili!). In insiemistica, la "o" logia viene tradotta con l'operazione di unione "$\cup$", come spiegato qui https://library.weschool.com/lezione/insieme-complementare-unione-universo-prodotto-cartesiano-insiemistica-12687.html. Quindi l'evento "si è verificato almeno un test" si traduce con $A \cup B \cup C$. Usando un po' di volte il teorema delle probabilità totali e le leggi dell'insiemistica, abbiamo che##KATEX##\begin{aligned} P(A \cup B \cup C) = & P\left(A \cup ( B \cup C ) \right) = \\ & = P(A) + P(B \cup C) - P\left(A \cap ( B \cup C ) \right) = \\ & = P(A) + P(B) + P(C) - P(B \cap C) - P\left((A \cap B) \cup ( A \cap C ) \right) = \\ & = P(A) + P(B) + P(C) - P(B)P(C) - \\ & \qquad - \left[ P(A \cap B) + P(A \cap C) - P\left((A \cap B) \cap (A \cap C) \right)\right] = \\ & = P(A) + P(B) + P(C) - P(B)P(C) - P(A)P(B) - P(A)P(C) + P(A)P(B)P(C) \end{aligned}##KATEX##Ora basta sostituire le singole probabilità per trovarsi con una probabilità del $97 \%$. Le altre due richieste si svolgono in maniera simile: traduci gli eventi in linguaggio insiemistico, poi applica le formule e solo alla fine sostituisci. Spero che tornino tutti i conti! Fammi sapere :D Ciao e buona giornata