Dati due insiemi $A$ e $B$, è ragionevole poter essere in grado di controllare, per esempio, quali elementi hanno in comune; oppure quali sono gli elementi che costituiscono $A$ e $B$, se li consideriamo come un unico insieme “più grande”. Questi sono dei primi esempi di operazioni tra insiemi.
Definizione
Dati due insiemi $A$ e $B$, si chiama intersezione (o insieme intersezione) di $A$ e $B$ l’insieme degli elementi che appartengono contemporaneamente sia ad $A$ che a $B$. Questo insieme viene indicato con $A \cap B$.
Per esempio, consideriamo l’insieme $A$ costituito dalle lettere della parola “passaporto” e l’insieme $B$ costituito da tutte le vocali dell’alfabeto italiano. La situazione è la seguente:
- Rappresentazione intensiva:
##KATEX##\begin{aligned} A & = \{ x \text{ }|\text{ } x \text{ è una lettera della parola “passaporto”} \} \\ B & = \{ x \text{ }|\text{ } x \text{ è una vocale dell’alfabeto italiano} \} \\ A \cap B & = \{x \text{ }|\text{ } x \text{ è una lettera di “passaporto” e una vocale dell’alfabeto} \}\end{aligned}##KATEX## - Rappresentazione estensiva:
##KATEX##\begin{aligned}A & = \{p, a, s, o, r, t \} \\B & = \{a, e, i, o, u \} \\A \cap B & = \{a, o \}\end{aligned}##KATEX##
- Diagramma di Eulero-Venn:
Diremo che due insiemi $A$ e $B$ sono disgiunti quando $A \cap B = \emptyset$.
Definizione
Dati due insiemi $A$ e $B$, si chiama unione (o insieme unione) di $A$ e $B$ l’insieme degli elementi appartenenti ad $A$ oppure a $B$, cioè appartenenti ad almeno uno dei due. Questo insieme viene indicato con $A \cup B$.
Ritornando all’esempio precedente:
- Rappresentazione intensiva:
$$ A \cup B = \{x \text{ }|\text{ } x \text{ è una lettera di “passaporto” o una vocale dell’alfabeto} \} $$ - Rappresentazione estensiva:
$$ A \cup B = \{p, a, s, o, r, t, e, i, u \} $$ - Diagramma di Eulero-Venn:
Definizione
Dati due insiemi $A$ e $B$, si chiama differenza (o insieme differenza) di $A$ e $B$ l’insieme costituito dagli elementi di $A$ che non appartengono a $B$.
Questo insieme viene indicato con $A - B$ (a volte, anche con $A \setminus B$).
Notiamo che nell’effettuare una sottrazione tra insiemi l’ordine degli insiemi è molto significativo. Sempre facendo riferimento al nostro esempio, infatti:
- Rappresentazione intensiva:
$$ A - B = \{x \text{ }|\text{ } x \text{ è una lettera di “passaporto” ma non una vocale dell’alfabeto} \}; $$
$$ B - A = \{x \text{ }|\text{ } x \text{ è una vocale dell’alfabeto ma non una lettera di “passaporto”} \}. $$ - Rappresentazione estensiva:
$$ A - B = \{p, s, r, t \}; $$
$$ B - A = \{e, i, u \}; $$ - Diagramma di Eulero-Venn:
Definizione
Si definisce complementare di un insieme $A$ rispetto a un insieme universo (o anche insieme ambiente) $U$, con $U \supseteq A$, l’insieme degli elementi di $U$ che non appartengono ad $A$.
Quando non è necessario specificare $U$, l’insieme complementare di $A$ si indica con $\bar{A}$ (che è la scrittura più comune); in alternativa, possiamo scrivere $C_UA$.
Per il nostro esempio, possiamo considerare come insieme universo $U$ tutte le lettere dell’alfabeto italiano: allora $$\bar{B} = C_UB = \{ x \text{ }|\text{ } x \in U, x \not \in B \} = \{x \text{ }|\text{ } x \text{ è una consonante dell’alfabeto italiano} \}$$ ma anche $$ \bar{A} = C_UA = \{x \text{ }|\text{ } x \text{ non è una lettera di “passaporto”, ma una lettera dell’alfabeto} \}$$.
ATTENZIONE: La scelta dell’insieme universo cambia radicalmente il complementare dell’insieme che si sta considerando. Per esempio, abbiamo già visto che $C_UB = \{ \text{ le consonanti dell’alfabeto italiano} \}$, ma scegliendo un nuovo insieme universo $U’ = \{ \text{le lettere della parola “estuario”} \} $ allora $C_{U’}B = \{s, t, r \}$.
Definizione
Dati due insiemi $A$ e $B$, si definisce prodotto cartesiano degli insiemi $A$ e $B$ l’insieme costituito da tutte le coppie ordinate di elementi di $A$ e $B$ (per coppia ordinata, intendiamo una coppia di oggetti in cui sia possibile distinguere un primo elemento e un secondo elemento).
Nel caso in cui si scelga di porre $A$ prima di $B$, il prodotto cartesiano è indicato con $A \times B$; altrimenti, scriveremo $B \times A$.
Capiamo meglio questa definizione riferendoci sempre al nostro esempio:
- Rappresentazione intensiva:
$$ A \times B = \{(x, y) \text{ }|\text{ } x \text{ è una lettera di “passaporto”}, y \text{ è una vocale dell’alfabeto} \}; $$
$$ B \times A = \{(x, y) \text{ }|\text{ } x \text{ è una vocale dell’alfabeto}, y \text{ è una lettera di “passaporto”} \}. $$ - Rappresentazione estensiva:
$$ A \times B = \{(p, a), (p, e), (p, i), (p, o), (p, u), (a, a), (a, e), (a, i), (a, o), (a, u), (s, a), (s, e), (s, i) \ldots \}; $$
$$ B \times A = \{(a, p), (a, a), (a, s), (a, o), (a, r), (a, t), (e, p), (e, a), (e, s), (e, o), (e, r), (e, t), (i, p), (i, a) \ldots \}. $$
Non possiamo rappresentare la situazione con un diagramma di Eulero-Venn, ma possiamo introdurre un altro metodo di visualizzazione degli insiemi, adatto solo per i prodotti cartesiani: il diagramma cartesiano. Il procedimento per costruirlo è il seguente:
- rappresentare schematicamente gli insiemi $A$ e $B$ su due rette distinte, poste perpendicolarmente, in modo che la retta orizzontale sia quella di $A$ se si vuole rappresentare $A \times B$;
- in corrispondenza di ciascun elemento di $A$ e $B$, tracciare una semiretta perpendicolare alla retta che rappresenta l’insieme;
- ciascun incrocio di queste rette viene considerato come un elemento di $A \times B$.
Procediamo con la rappresentazione di $A \times B$:
Notiamo infine che se $A$ ha cardinalità $n$ e $B$ ha cardinalità $m$, allora $ \# (A \times B) = \# (B \times A) = n \cdot m$.
Operazioni tra insiemi: formule
Vediamo qui di seguito alcune proprietà delle operazioni che abbiamo appena introdotto e delle identità che le legano tra loro.
D’ora in poi, $A, B, C$ saranno insiemi generici, contenuti in un insieme universo $U$.
L’operazione di intersezione $\cap$ è:
- commutativa: $A \cap B = B \cap A$
- associativa: $A \cap (B \cap C) = (A \cap B ) \cap C$
- distributiva rispetto all’unione: $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
- dotata di elemento neutro $U$: $A \cap U = A$
L’operazione di unione $\cup$ è:
- commutativa: $A \cup B = B \cup A$
- associativa: $A \cup (B \cup C) = (A \cup B ) \cup C$
- distributiva rispetto all’intersezione: $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
- dotata di elemento neutro $\emptyset$: $A \cup \emptyset = A$
Inoltre valgono:
- $A \cup \bar{A} = U, \quad A \cap \bar{A} = \emptyset$;
- $A \cup (A \cap B) = A, \quad A \cap (B \cup A) = A$;
- $A - B = A \cap \bar{B}$;
- $\bar{\bar{A}} = A$.
Hanno particolare importanza le cosiddette Leggi di de Morgan:
- $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$;
- $\overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}$.
Revisione scientifica a cura di Marco Guglielmino.