Nello svolgere alcune operazioni aritmetiche utilizziamo spesso la proprietà associativa, alcune volte quasi senza accorgercene. Questa è una delle proprietà delle quattro operazioni; tra le altre proprietà ricordiamo la proprietà commutativa, la proprietà distributiva e la proprietà invariantiva. Un’altra proprietà di cui parleremo in questa lezione è la proprietà dissociativa, che non è altro che la proprietà associativa applicata “al contrario”.
Le uniche operazioni elementari a godere della proprietà associativa sono la moltiplicazione e l’addizione.
Proprietà associativa della moltiplicazione: In una moltiplicazione in cui sono coinvolti tre o più fattori possiamo sostituire due qualsiasi fattori consecutivi con il loro prodotto, senza che il risultato finale della moltiplicazione cambi.
Possiamo anche riformulare la proprietà in questo modo:
Non è importante specificare l’ordine in cui si svolgono le operazioni presenti in una moltiplicazione di tre o più fattori.
Facciamo vedere questa proprietà direttamente con un esempio. Prendiamo la moltiplicazione $$2 \cdot 5 \cdot 6$$Se svogliamo prima l’operazione $2 \cdot 5$, che fa $10$, otteniamo $$(2 \cdot 5) \cdot 6 = 10 \cdot 6 = 60$$Invece, se svolgiamo prima l’operazione $5 \cdot 6$ otteniamo $$2 \cdot (5 \cdot 6) = 2 \cdot 30 = 60$$Questo mostra la validità della proprietà associativa della moltiplicazione: anche “associando” i fattori in diverse maniere il prodotto finale è sempre lo stesso.
Proprietà associativa dell’addizione: In una addizione in cui sono coinvolti tre o più addendi possiamo sostituire due qualsiasi addendi consecutivi con la loro somma, senza che il risultato finale dell’addizione cambi.
Possiamo anche riformulare la proprietà in questo modo:
Non è importante specificare l’ordine in cui si svolgono le operazioni presenti in una addizione con tre o più addendi.
Consideriamo un esempio per capire meglio la proprietà. Prendiamo l’addizione $$3+14+21$$Svolgendo prima l’operazione $3+14$, otteniamo $$(3 + 14) + 21 = 17 + 21 = 38$$Se invece svolgiamo prima l’operazione $14+21$, otteniamo $$3 + (14 + 21) = 3 + 35 = 38$$In qualsiasi modo scegliamo l’ordine delle operazioni il risultato finale non cambia: è dunque valida la proprietà associativa anche per l’addizione.
A partire dalla proprietà associativa possiamo definire una nuova proprietà dell’addizione e della moltiplicazione.
Proprietà dissociativa della moltiplicazione: All’interno di una moltiplicazione è possibile sostituire un fattore con un prodotto di numeri che danno come risultato il fattore sostituito, senza che il risultato finale cambi.
Per esempio: ##KATEX##\begin{aligned} 24 \cdot 15 & = 3 \cdot 8 \cdot 15 \\ & = 6 \cdot 4 \cdot 15\end{aligned}##KATEX##ma anche $$24 \cdot 15 = 24 \cdot 3 \cdot 5$$Facciamo notare che possiamo permetterci di non scrivere alcuna parentesi, dato che vale la proprietà associativa della moltiplicazione.
Proprietà dissociativa dell’addizione: All’interno di un’addizione è possibile sostituire un addendo con la somma di numeri che danno come risultato l’addendo sostituito, senza che il risultato finale cambi.
Per esempio: ##KATEX##\begin{aligned} 16 + 5 & = 12+4+ 5 \\ & = 11+5+5\end{aligned}##KATEX##ma anche $$16 + 5 = 16+4+1$$Anche qui possiamo permetterci di non scrivere alcuna parentesi, dato che vale la proprietà associativa dell’addizione.
Osservazioni sulla proprietà associativa e dissociativa
La prima cosa su cui è bene riflettere è: quando è appropriato utilizzare la proprietà associativa e la proprietà dissociativa?
Innanzitutto bisogna dire che la proprietà associativa, di una o dell’altra operazione, è proprio quello che ci permette di trattare moltiplicazioni (o addizioni) con numerosi fattori (o addendi) senza dover specificare l’ordine di svolgimento delle operazioni. Tanto per fare un esempio, senza la proprietà associativa la scomposizione in fattori primi di un numero naturale non sarebbe ben definita, per come viene scritta di solito.
In generale, possiamo dire che l’uso combinato della proprietà associativa e della proprietà dissociativa ci permette di “unire” e “spezzare” a piacimento i fattori (o gli addendi) presenti in una moltiplicazione (o in un’addizione).
Dal punto di vista operativo, le proprietà associativa e dissociativa sono molto utili per svolgere velocemente alcuni conti. Vediamo alcuni esempi.
- Prendiamo la moltiplicazione $$7 \cdot 5 \cdot 20 \cdot 2$$Se risolviamo direttamente la prima moltiplicazione otteniamo $35 \cdot 20 \cdot 2$, ma svolgere $35 \cdot 20$ è poco agevole; anche risolvendo prima l’ultima moltiplicazione arriviamo a $35 \cdot 40$, che non è molto semplice da risolvere a mente.
Possiamo aggirare queste difficoltà notando che $5 \cdot 20 = 100$ e applicando la proprietà associativa: $$7 \cdot 5 \cdot 20 \cdot 2 = 7 \cdot 100 \cdot 2 = 700 \cdot 2 = 1400$$ - Consideriamo l’operazione $$224 + 23 + 9 + 101 + 3$$Per risolvere agevolmente questa somma conviene fare uso della proprietà dissociativa in maniera oculata: $$224 + 23 + 9 + 101 + 3 = 220 + 4 + 20 + 3 + 9 + 1 + 100 + 3$$Grazie alla proprietà commutativa dell’addizione possiamo riscrivere il tutto in questo modo: $$220 + 20 + 100 + 4 + 3 + 3 + 9 + 1$$Dato che $9+1= 10$ e che $4+3+3 = 7+3 = 10$, per la proprietà associativa riusciamo a risolvere facilmente la nostra addizione: ##KATEX##\begin{aligned} 224 + 23 + 9 + 101 & = 220 + 20 + 10 + 10 + 10 = \\ & = 240 + 30 = 270 \end{aligned}##KATEX##
Fino a ora abbiamo parlato solamente di proprietà associativa dell’addizione e della moltiplicazione, ma in realtà questa proprietà può essere definita in generale:
Definizione
Una operazione binaria $\star$, definita su un insieme $S$, gode della proprietà associativa se $$(a \star b) \star c = a \star (b \star c) \qquad \forall \ a, b, c \in S$$
Con “operazione binaria” si intende una qualsiasi operazione che può essere svolta tra due elementi di un certo insieme $S$; $\star$ è un simbolo generico che indica un'operazione di questo tipo. Chiaramente se scegliamo $\star = \cdot$ oppure $\star = +$ allora la definizione è soddisfatta, ma ci sono altre operazioni che godono della proprietà associativa. Tra queste ricordiamo:
- il prodotto tra matrici;
- l’intersezione o l’unione di insiemi;
- la composizione di funzioni (considerando opportuni domini e codomini).
Ecco alcune operazioni che invece non sono associative:
- il prodotto vettoriale, dato che in generale$$\vec{a} \times \left ( \vec{b} \times \vec{c} \right ) \neq \left ( \vec{a} \times \vec{b} \right ) \times \vec{c}$$
- l’elevamento a potenza, visto che per esempio $$\mathbf{2^{\left ( 3^2 \right )} } = 2^9 \ \mathbf{\neq} \ 2^6 = \mathbf{\left (2^3 \right )^2}$$