Calcolo di un limite

Ciao Francesco! Se ho capito bene, il limite su cui chiedi spiegazioni è$$ \lim_{x \to -1^{-}} \frac{x^2 + 3}{x^2 - 1} $$Per determinare che il limite effettivamente vale $+\infty$, puoi seguire i consigli che diamo in questo video: https://library.weschool.com/lezione/risolvere-limiti-funzioni-razionali-fratte-esercizi-svolti-matematica-9627.html. Come puoi vedere, nel nostro caso il numeratore non si annulla se $x = -1$ (infatti vale 4), mentre il denominatore sì: da questo deduciamo che il limite deve valere $\infty$. Per il segno, invece, seguiamo la regola dei segni: il numeratore è positivo, il denominatore... Beh, il limite è per $x \to -1^{-}$, quindi un po' "prima" di $-1$: facciamo $-1,1$ per renderci l'idea. Allora $x^2 - 1 = (-1,1)^2 - 1 = 1,21 - 1 = 0,21 > 0$. Se ci avviciniamo sa sinistra quindi, il denominatore sarà una quantità molto piccola, ma sempre positiva. E il quoziente di due quantità positive è positivo, quindi il limite vale $ + \infty$. Spero sia tutto chiaro: se hai ulteriori dubbi, chiedi pure! Ciao e buona giornata.

Ciao Giovanni, grazie per avermi risposto. Avrei bisogno di chiederti un'altra informazione: se ho un limite $ lim_(x->-1^(+)) (x^2 +3)/(x^2-1) = -\infty $ questo limite vale $ -\infty $ perchè il numeratore è positvo e vale quattro, il denominatore è negativo poichè -1^(+) è approssimabile a -0,9: quindi 0,81 - 1 = - 0,19 . Il quoziente di una quantità positiva e una negativa è negativo quindi il risultato è $-\infty $. E' corretto ? Ciao e buona giornata anche a te. - francesco paoli 26 Luglio 2016

Ti riscrivo il limite del precedente commento meglio: $$ \lim_{n \to \ -1^+} ((x^2) +3)/((x^2)-1) = - \infty $$ - francesco paoli 26 Luglio 2016

Esatto! Il "trucco" con le funzioni razionali è sempre questo: prima capire che vanno all'infinito (annullando il denominatore), e poi scoprire con quale segno (con la regola dei segni). Va tutto bene perché stiamo usando, di nascosto, un teorema molto potente, il Teorema della Permanenza del segno (che riassumiamo qui https://library.weschool.com/lezione/teorema-del-confronto-due-carabinieri-unicita-limite-permanenza-del-segno-14342.html), che ci garantisce che una funzione, ove continua, non può impazzire e passare da valori positivi a negativi: se è positiva prima di andare all'infinito, non può che andare a $ + \infty$. E la sintassi per le frazioni è " \frac{N}{D} ", che viene $\frac{N}{D}$ ;P

Ciao Giovanni, avrei bisogno di chiederti un'altra informazione. Ho questo limite: $$ \lim_{x \to - \infty \ } ((x^5*3^x) +2^x)/((x^4*4^x)+3^x) $$ tu come lo risolveresti? Ti ringrazio in anticipo - francesco paoli 30 Luglio 2016