Una funzione razionale fratta è una funzione che si può scrivere come rapporto di due polinomi. Si presenta, cioè, nella forma f(x)= N(x)/D(x).
Se si tratta di un solo polinomio, la chiameremo razionale intera o polinomiale.
Quando calcoliamo il
e facciamo tendere la x a un certo numero x0, si possono presentare diversi casi, qui tutti illustrati con degli esempi:
- Il denominatore non si annulla. La funzione è continua in x0 e basta sostituire il valore x0 nella funzione
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- Si annulla il denominatore (e non il numeratore). Quello che si fa è vedere cosa accade nelle vicinanze del punto “problematico”: si calcolano i due limiti destro e sinistro
Il risultato di questi due limiti è, in valore assoluto, infinitamente grande. Come si fa a stabilire il segno dell’infinito? Si sostituiscono rispettivamente valori poco al di sopra o poco al di sotto di x0, si valuta se il denominatore diventa poco più grande di zero (0+) o poco più piccolo di zero (0-) e, di conseguenza, si stabilisce il segno corretto: +∞ o -∞.
In questo caso si dice che la retta x=x0 è un asintoto verticale per la funzione.
- Si annullano sia numeratore che denominatore. In questo caso diremo che il limite si presenta nella forma indeterminata 0/0.
Per stabilire il valore del limite, basta scomporre i polinomi al numeratore e al denominatore e cercare di semplificare.
In collaborazione con Elia Bombardelli, autore del canale youtube LessThan3Math