Vediamo come dimostrare il limite notevole $\displaystyle{\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1}$ tramite il teorema dei due carabinieri.
Partendo dal grafico della circonferenza unitaria, prendiamo un generico angolo $x$ nel primo quadrante, ed individuiamo i punti $A \equiv (\cos(x);0)$, $B \equiv (\cos(x);\sin(x))$ e $ C \equiv (1; \tan(x))$, sulla retta tanegente alla circonferenza nel punto $D \equiv (1;0)$. Consideriamo infine i due triangoli $AOB$ e $COD$, ed il settore circolare individuato da $x$; notiamo che i due triangoli sono entrambi rettangoli, e tra loro simili.
Avremo allora intuitivamente dal disegno che l'area del settore circolare $BOD$ delimitato dai due raggi già tracciati è necessariamente compresa fra quella del triangolo $AOB$ e quella del triangolo $COD$; ossia $Area(AOB) < Area(BOD) < Area(COD)$.
L'area del settore circolare è calcolabile in funzione di $x$ come porzione sull'area totale del cerchio e risulta pari a $\frac{x}{2}$. L’area dei due triangoli invece è rispettivamente $\frac{\sin(x)}{2}$ e $\frac{\tan(x)}{2}$.
Si prosegue il ragionamento estendendo l’angolo anche al quarto quadrante, introducendo il modulo.
Manipolando algebricamente la doppia disuguaglianza si giunge a $$ 1 > \frac{|\sin(x)|}{|x|} > |\cos(x)| $$
Facendo ora tendere l'angolo $x$ a $0$ è possibile applicare il teorema dei due carabinieri:
siccome $\displaystyle{\lim_{x \to 0}|\cos(x)| = 1}$, il teorema garantisce che $\displaystyle{\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1}$.