Esponenziali e logaritmi sono funzioni che vengono utilizzate per modellizzare situazioni reali e dunque è importante comprendere il loro comportamento agli estremi del dominio. Ci concentriamo soltanto sugli estremi perché essendo entrambe funzioni continue, per calcolarne il limite in un qualunque altro punto del dominio è sufficiente sostituire all’argomento il suo valore.
Una funzione esponenziale è una qualunque funzione del tipo $f(x)=a^x$ con $a$ numero reale positivo ($a>0$). La più significativa tra le funzioni esponenziali è quella in cui la base a assume il valore speciale della costante o numero di Nepero $e$, un numero irrazionale compreso tra $2$ e $3$ definito dal limite notevole $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e$. Se ricordiamo come si comporta la funzione $e^x$ (all’inglese $\exp(x)$) possiamo ricavare facilmente l’andamento di tutte le altre. Niente aiuta di più la memoria che un’immagine, facciamo allora riferimento al grafico di $e^x$ riportato qui sotto:
Quando $x$ si muove verso l’estrema sinistra vediamo che il grafico si appiattisce sull’asse delle ascisse, quasi confondendosi con esso, ma rimanendone comunque sempre al di sopra, essendo l’asse $x$ un asintoto per la curva, poichè $e^x>0$ $\forall x\in\mathbb R$. Possiamo ricavare quindi $$\lim_{x\to-\infty}e^x=0^+$$
Se invece ci spostiamo a destra il grafico sale vertiginosamente verso l’alto senza fermarsi mai, da cui: $$\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$$
Se la base $a$ è diversa da $e$ ciò che conta è il confronto tra $a$ e $1$. La costante di Nepero vale approssimativamente $2 , 718 \dots $ e il suo andamento, quindi, è rappresentativo di tutti gli esponenziali di base $a>1$. Se $0 < a < 1$, il grafico si ottiene per riflessione rispetto all’asse delle ordinate come indicato nella prossima figura:
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Di conseguenza gli estremi si scambiano di ruolo e otteniamo i seguenti limiti validi per $0 < a < 1$: $$\lim_{x\to-\infty}a^x = +\infty$$ $$\lim_{x\to+\infty}a^x=0^+$$
Il logaritmo ($\log_a(x)$), a differenza dell’esponenziale, è definito solo per tutti i valori positivi del suo argomento $x$ e per valori positivi diversi da uno della base, $a$. Il dominio della funzione coincide quindi con l’intervallo $(0 , +\infty)$. Come nel caso dell’esponenziale il comportamento è determinato dal valore della base $a$; i più comunemente usati sono quelli che hanno per base $e$ (il logaritmo naturale $\ln$) oppure $10$ ($\log_{10}$, $Log$ o semplicemente $log$). Come prima cominciamo a ricavare i valori dei limiti a partire dal grafico del logaritmo naturale:
Quando ci avviciniamo a zero da destra la funzione si inabissa verso $-\infty$ mentre se ci spostiamo verso destra la curva (anche se in modo presto estremamente lento) cresce indefinitamente. Ne ricaviamo i valori dei limiti: $$\lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty$$ $$\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$$ Questo andamento è tipico di tutti i logaritmi di base $a >1$.
In tutti gli altri casi il grafico si ottiene per riflessione rispetto all’asse delle ascisse:
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Per cui è facile rendersi conto che se $ 0 <a <1$ allora $$ \lim_{x\to0^+}\log_a(x)=+\infty$$ $$\lim_{x\to+\infty}\log_a(x)=-\infty.$$