Lunghezza di un arco di circonferenza
Definizione 1. Una qualsiasi coppia di punti distinti appartenenti a una circonferenza la divide in due parti. Ciascuna di esse è detta arco di circonferenza e i due punti che lo individuano sono chiamati estremi dell’arco.
Osservazione 1. Come risulta chiaro dalla figura, gli archi individuati dai punti $A$ e $B$ sono due: quello in rosso e quello in blu.
Definizione 2. Per lunghezza dell'arco di circonferenza si intende il numero reale positivo che esprime l’estensione dell’arco secondo la comune nozione intuitiva.
La lunghezza $l$ di un arco può essere usata per definire l'estensione in radianti dell'angolo da esso sotteso. Diciamo che la misura in radianti dell’angolo al centro sotteso dall’arco $l$ è $$\boxed{\displaystyle{ \alpha = \frac{l}{r} }}$$ dove $r$ è il raggio della circonferenza. Viceversa, grazie alle formule inverse, possiamo ottenere la lunghezza $l$ a partire dall'angolo $\alpha$ espresso in radianti: $$ l = \alpha \cdot r $$
Esempio 1. Individuare la lunghezza di un arco di circonferenza di raggio $r = 2m$ conoscendone il rispettivo angolo al centro pari a $\alpha = \frac{\pi}{6}$.
Risoluzione.
Grazie alle precedenti formule si ottiene:
$ l = \alpha \cdot r = \frac{\pi}{6} \cdot 2 = \frac{\pi}{3} \simeq 1,047m $
Area del settore circolare
Definizione 3. Chiamiamo settore circolare la figura piana che si ottiene dall’intersezione tra un cerchio e un suo angolo al centro. Nel caso particolare in cui l’angolo al centro sia piatto, il settore circolare acquista il nome particolare di semicerchio.
Prendiamo in considerazione il settore circolare della figura qui sopra, indicando con $r$ il raggio del cerchio e con $\alpha$ l'angolo al centro. Visto che l'area del settore è proporzionale ad $\alpha$, possiamo scrivere la seguente proporzione: $$ A_{cerchio} : 2 \pi = A_{settore} : \alpha $$
Da cui ricaviamo il risultato che ci interessa: $$ A_{settore}= A_{cerchio} \cdot \frac{\alpha}{2 \pi} $$
Dal momento, poi, che $A_{cerchio}= \pi \cdot r^2$, giungiamo alla conclusione: $$A_{settore}=\frac{\alpha}{2 \pi} \cdot \pi \cdot r^2=\frac{\alpha \cdot r^2}{2}$$
Se in quest'ultima sostituiamo infine $\alpha = \frac{l}{r}$, otteniamo: $$A_{settore}=\frac{1}{2} \alpha r^2=\frac{1}{2} \cdot \frac{l}{r} \cdot r^2 =\frac{1}{2} lr$$
Riassumendo, per calcolare l’area del settore circolare abbiamo le seguenti formule.
- conoscendo l'ampiezza dell'angolo e il raggio del settore: $$ \boxed{\displaystyle{ A_{settore}=\frac{1}{2} \alpha r^2 }}$$
- conoscendo invece la lunghezza dell'arco e il raggio: $$\boxed{\displaystyle{ A_{settore}=\frac{1}{2}lr }} $$.
Esempio 2. Calcolare l'area del settore circolare conoscendo l'angolo al centro $\alpha=\frac{\pi}{3}$ e il raggio $r=3m$.
L'area si ricava da: $A=\frac{1}{2} \alpha r^2=\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3} \cdot 9=\frac{3}{2} \pi = 4,71m^2$
Esempio 3. Calcolare l'area del settore circolare dati il raggio $r=4m$ e la lunghezza dell'arco $l=7m$.
L'area è pari a: $ A=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}\cdot 7 \cdot 4 = 14m^2 $