Come abbiamo visto in questa lezione, la definizione di angolo può essere data in maniera molto astratta. Tuttavia, per alcuni esercizi, dobbiamo essere in grado di misurare l’ampiezza di un angolo. Tra poco definiremo due unità di misura molto comuni, il grado e il radiante, che permettono di assegnare un valore numerico all’ampiezza di un qualsiasi angolo (e quindi di poter svolgere calcoli con tali grandezze).
Definizione (intuitiva)
L’ampiezza di un angolo è la porzione di piano che è compresa tra i due lati dell’angolo considerato.
Definizione (rigorosa)
Consideriamo l’insieme di tutti gli angoli del piano, e chiamiamolo $A$. All’interno di $A$ è definita in maniera naturale una relazione di equivalenza, che è la congruenza (ovvero: due angoli sono in relazione tra loro se sono congruenti).
Ciascuna delle classi di equivalenza dell’insieme quoziente $A / R$ è detta ampiezza (di ciascuno degli angoli della classe considerata).
Per capire appieno la definizione appena data, è di aiuto pensare che l’ampiezza di un angolo è quella “caratteristica” che quell’angolo ha in comune con tutti gli angoli a esso congruenti.
Gradi e radianti
Definizione
Consideriamo un angolo giro, e suddividiamolo in $360$ parti uguali. L’ampiezza di ciascuna di queste parti è definita come un grado sessagesimale. La $60$-esima parte di un grado viene detta primo, e la $60$-esima parte di un primo viene detta secondo.
Notazione: per indicare l’ampiezza di un angolo $\alpha$, quando questo misura $a$ gradi, $b$ primi e $c$ secondi, si scrive $\alpha = a^{\circ} b’ c’’$. Per esempio: $\alpha = 46^{\circ} 34’ 55’’$.
L’utilizzo dei primi e dei secondi è spesso sostituito dall’utilizzo dei sottomultipli decimali del grado (il che è molto più vicino al nostro usuale modo di trattare i numeri). Per esempio: possiamo dire che un angolo di ampiezza $30^{\circ} 33’ 54’’$ misura anche $30,565^{\circ}$ (più avanti vedremo come convertire una misurazione nell’altra).
Il grado è una delle unità di misura più comuni utilizzata per la misurazione degli angoli; la sua definizione risale addirittura ai tempi dei Babilonesi e dei Sumeri. Tuttavia, il suo utilizzo - specialmente in ambito matematico - si è gradualmente ridotto, tanto che attualmente il grado non è l’unità di misura per gli angoli adottata dal Sistema Internazionale (SI) di Unità di Misura.
Definizione
Consideriamo un arco di circonferenza lungo quanto il raggio della circonferenza utilizzata. L’ampiezza dell’angolo sotteso dall’arco in questione è detta radiante.
Più in generale: dato un arco di circonferenza lungo $l$, diremo che l’angolo $\alpha$ sotteso dall’arco $l$ misura $\frac{l}{r}$ radianti (dove $r$ è il raggio della circonferenza).
Notazione: per indicare l’ampiezza di un angolo $\alpha$, quando questo misura $a$ radianti, si scrive $\alpha = a$ rad. Molto spesso, però, la scrittura “rad” viene omessa e si considera la misura di un angolo come un semplice numero.
La nozione di radiante, nonostante possa sembrare legata alla circonferenza utilizzata per definirla, è in realtà indipendente da essa. Il motivo è che la lunghezza di un arco di circonferenza è direttamente proporzionale alla lunghezza del raggio. Di conseguenza il rapporto $\frac{l}{r}$ non cambia, al variare di $r$.
L’unità “radiante” è il sistema di misurazione degli angoli in uso all’interno del SI delle Unità di Misura.
Conversioni tra le misure di un angolo
Scriviamo qui di seguito i metodi di conversione tra le diverse misurazioni di un angolo.
Radianti → Gradi:
Se un angolo misura $a$ radianti, allora misurerà $ \displaystyle \frac{a \cdot 180}{\pi}$ gradi.
Per esempio:
$$\alpha = 4 \text{ rad} \quad \Rightarrow \quad \alpha = \frac{4 \cdot 180}{\pi} \approx 229,183^{\circ}$$
Gradi → Radianti:
Se un angolo misura $a$ gradi, allora misurerà $ \displaystyle \frac{a \cdot \pi}{180}$ radianti.
Per esempio:
$$\alpha = 53^{\circ} \quad \Rightarrow \quad \alpha = \frac{53 \cdot \pi}{180} \approx 0,925 \text{ rad}$$
Gradi con primi e secondi → Gradi in notazione decimale
Se un angolo misura $a^{\circ} b’ c’’$ allora misura $a + \frac{60b+c}{3600}$ gradi, in notazione decimale.
Per esempio:
$$\alpha = 34^{\circ} 44’ 29’’ \quad \Rightarrow \quad \alpha = 34^{\circ} + \left ( \frac{60 \cdot 44 + 29}{3600} \right )^{\circ} \approx 34,741^{\circ}$$
Gradi in notazione decimale → Gradi con primi e secondi
Spieghiamo questo procedimento direttamente con un esempio (la formula generale è poco maneggevole).
Dato $\alpha = 42,23^{\circ}$, separiamo la parte intera da quella decimale: $\alpha = 42^{\circ} + 0,23^{\circ}$.
Trasformiamo la parte decimale dei gradi in primi, moltiplicando per $60$: $0,23 \cdot 60 = 13,8 \Rightarrow \alpha = 42^{\circ} 13,8’ = 42^{\circ} 13’ + 0,8’$.
Trasformiamo la parte decimale dei primi in secondi, moltiplicando nuovamente per $60$: $0,8 \cdot 60 = 48 \Rightarrow \alpha = 42^{\circ} 13’ 48’’$.
Elenchiamo in una tabella il confronto tra il valore in radianti e in gradi (sia con la notazione decimale che con i primi e secondi) per gli angoli più frequentemente incontrati in geometria.
| Radianti | Gradi (decimali) | Gradi (primi e secondi) | Descrizione |
| $2 \pi$ | $360^{\circ}$ | $360^{\circ}$ | Angolo giro |
| $\pi$ | $180^{\circ}$ | $180^{\circ}$ | Angolo piatto |
| $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ | $90^{\circ}$ | $90^{\circ}$ | Angolo retto |
| $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ | $60^{\circ}$ | $60^{\circ}$ | Angolo di un triangolo equilatero |
| $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ | $45^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | Angolo tra la diagonale di un quadrato e un suo lato |
| $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ | $30^{\circ}$ | $30^{\circ}$ | |
| $1$ | $\approx 57,2958^{\circ}$ | $\approx 57^{\circ} 17' 44''$ | Valore in gradi di un radiante |
| $0,0174$ | $1^{\circ}$ | $1^{\circ}$ | Valore in radianti di un grado |
Crediti immagine:
Lucas V. Barbosa - http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Circle_radians.gif#mediaviewer/File:Circle_radians.gif