L’equazione di una parabola si può ottenere assegnando diversi tipi di condizioni; per esempio si può richiedere che essa passi per tre punti. È importante ricordare che se i punti forniti sono soltanto due o addirittura uno solo non è possibile stabilire univocamente la parabola. Per uno o due punti fissati infatti passano infinite parabole. Basta però indicare le coordinate di un terzo punto per individuare univocamente la nostra curva.
La soluzione dell'esercizio non richiede calcoli troppo faticosi, tuttavia bisogna prestare un po’ di attenzione al procedimento. In questo problema dobbiamo ottenere i valori dei coefficienti $a$, $b$ e $c$ dell’equazione generale della parabola $y = ax^2 + bx + c$. Per determinarli imponiamo alla parabola di passare per ciascuno dei tre punti $P$, $Q$ e $R$ di cui vengono fornite le coordinate. Ma come si fa a farlo?
Dire che una parabola passa per un punto $P$ è come dire che $P$ appartiene al suo grafico e le sue coordinate ne soddisfano l’equazione. Per imporre il passaggio per $P$ quindi è sufficiente sostituire nell'equazione $y = ax^2 + bx + c$ rispettivamente a $x$ e $y$ i valori dell’ascissa e dell’ordinata di $P$. Ciò che si ottiene è un’equazione dove le incognite sono proprio i coefficienti $a$, $b$ e $c$. Ripetendo l’operazione per tutti i tre punti otteniamo così tre equazioni in $a$, $b$ e $c$ che devono valere contemporaneamente, ovvero un sistema di tre equazioni in tre incognite.
Si tratta inoltre di un sistema lineare (tutte le incognite compaiono come potenze di primo grado) quindi si possono applicare i metodi noti per risolvere sistemi lineari (sostituzione, confronto, riduzione, Cramer).
Facciamo un esempio concreto: calcoliamo l’equazione della parabola passante per i punti $P \equiv (1;0)$, $Q \equiv (3;0)$ e $R \equiv (2;-1)$. Poniamo l'appartenenza alla curva di equazione $y = ax^2 + bx + c$ e otteniamo:
Punto $P$: $$0=a\cdot1^2+b\cdot1+c$$ $$a+b+c=0$$
Punto $Q$: $$0=a\cdot3^2+b\cdot3+c$$ $$9a+3b+c=0$$
Punto $R$: $$-1=a\cdot2^2+b\cdot2+c$$ $$4a+2b+c=-1$$
Queste tre equazioni devono valere contemporanemente. Per questo motivo possono essere riunite nel sistema seguente: $$\begin{cases} a+b+c =0 \\ 9a+3b+c=0 \\ 4a+2b+c=-1 \end{cases}$$
Utilizziamo il metodo di sostituzione. Dalla prima equazione possiamo ricavare la lettera $c$ che sostituita nella seconda e nella terza equazione dà: $$\begin{cases} c=-a-b \\ 9a+3b-a-b=0 \\ 4a+2b-a-b=-1 \end{cases}$$ Svolgendo i calcoli $$\begin{cases}c=-a-b \\ 8a+2b=0 \\ 3a+b=-1 \end{cases}$$ La seconda equazione permette di ricavare la lettera $b$ e con l’ultima sostituzione otteniamo $$\begin{cases}c=-a-b \\ b=-4a \\ 3a-4a=-1 \end{cases}$$ L'ultima equazione ci consente di ottenere il valore di a $$-a=-1 \to a=1.$$ Per sostituzioni successive otteniamo infine la soluzione $a=1$, $b=-4$ e $c=3$ da cui il risultato: $$y=x^2-4x+3$$