Per identificare in modo univoco una parabola con asse di simmetria verticale sono sufficienti solo il vertice ed il parametro $a$ che indica l’ampiezza e la concavità della stessa.
Sappiamo che una parabola che ha il vertice nell’origine e l’ampiezza pari ad $a$ ha come equazione $$Y=aX^2.$$ Ora applichiamo la traslazione di equazioni $$\begin{align} & X = x - x_V \\ & Y = y - y_V \end{align}$$ in modo che l’origine degli assi “maiuscoli” $\mathcal{O}’XY$ diventi il punto di coodinate $(x_V;y_V)$ nel sistema di riferimento con gli assi “minuscoli” $\mathcal{O}xy$.
L'equazione della parabola diventa allora $$y-y_V=a(x^2-2x_V\cdot x+x_V^2)$$
Il nostro compito ora è quello di manipolare l’equazione generale $$y=ax^2+bx+c$$ in modo che assuma la forma appena vista. Prima di tutto dobbiamo raccogliere il fattore $a$: $$y=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)$$
Ora se confrontiamo i due termini lineari in $x$, cioè quelli di primo grado, ci accorgiamo che deve valere la seguente relazione: $$-2x_V=\frac{b}{a}$$ Per esplicitare $x_V$ moltiplichiamo ambo i membri per $- \frac{1}{2}$ e otteniamo
$$\left( -\frac{1}{2} \right) \cdot(-2x_V) = \left( -\frac{1}{2} \right) \cdot \frac{b}{a}$$
$$x_V=-\frac{b}{2a}$$
Abbiamo così trovato l’ascissa del vertice, la quale indica anche la posizione dell’asse di simmetria della parabola, che avrà dunque equazione $x = -\frac{b}{2a}$.
Per ricavare l’ordinata del vertice $y_V$ basta sostituire $x_V$ al posto di $x$ nell’equazione della parabola $y = ax^2 + bx + c$.
Per esempio la parabola $y=3x^2-6x+1$ ha il vertice di ascissa $x_V = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = 1 $. Per ottenere $y_V$ sostituiamo a $x$ il valore $1$ ottenendo $y_V=3 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 + 1 = -2$. Per aiutare la memoria riportiamo di seguito tutte le formule.
$$ y = ax^2 + bx + c$$
Curvatura: $a$
Asse di simmetria: $x=-\frac{b}{2a}$
Coordinate del vertice:
$$ \begin{align} x_V & =-\frac{b}{2a} \\ y_V & = \frac{4ac-b^2}{4a} = -\frac{\Delta}{4a} \end{align}$$
Nell’ultima equazione abbiamo usato $\Delta$ per indicare il discriminante dell’equazione di secondo grado associata $ax^2 + bx + c = 0$, $\Delta = b^2 - 4 \cdot ac$.