Equazione della retta: forma implicita e forma esplicita

Il modo più comune di presentare una retta nel piano è attraverso la sua equazione espressa in forma esplicita $y=mx+q$.

Ad ogni equazione di questo tipo corrisponde una e una sola retta del piano. Non è però vero l’inverso, cioè che ogni retta del piano è individuata da una equazione in forma esplicita. Tutte le rette verticali infatti sono del tipo $x=a$, relazione che non può essere ricondotta attraverso passaggi algebrici a una struttura $y=mx+q$.

C’è allora un problema di generalità, la forma esplicita non è abbastanza “potente” da comprendere al proprio interno tutte le possibili di rette del piano. Esiste però una generalizzazione che consente di ovviare a questo fatto: la forma implicita

$ax+by+c=0$

Le rette orizzontali costituiscono il caso specifico in cui $a = 0$ e $b\neq 0$, mentre quelle verticali sono tali per cui $b=0$ e $a \neq 0$. Se sia $a\neq 0$ sia $b\neq 0$ si hanno le rette non parallele agli assi cartesiani.

Attraverso alcuni passaggi possiamo inoltre verificare come anche la forma esplicita non è altro che un caso particolare di quella implicita.

• Scriviamo la forma esplicita $y=mx+q$
• Portiamo a primo membro tutti i termini $y-mx-q=0$
• Riordianiamo i termini come nella forma implicita $-mx+y-q=0$

Dal confronto diretto tra le formule ricaviamo $a=-m$, $b=1$, $c=-q$.

Per il passaggio inverso che consente di ottenere la forma esplicita a partire da quella implicita avremmo invece i seguenti passi.

• Scriviamo la forma implicita $ax+by+c=0$
• Isoliamo il termine in y $by=-ax-c$
• Questo passaggio è possibile soltanto se $b\neq0$! In tal caso $y=-\frac{a}{b}x-\frac{c}{b}$

Ricaviamo dunque che $m = -\frac{a}{b}$ e $q = -\frac{c}{b}$.

Risulta allora evidente la ragione per cui una retta verticale non può essere scritta in forma esplicita: la conversione non è possibile perché non è possibile la divisione per zero.