Spesso, soprattutto nel linguaggio scientifico, si sente parlare di quantità o grandezze che sono direttamente o inversamente proporzionali tra loro, o che sono in una certa proporzione, in assoluto o in relazione a qualcos’altro. Questi termini sconfinano anche nel linguaggio di tutti i giorni, e sono espressioni usate sin dai tempi più remoti: ma che cos’è una proporzione?
Presa singolarmente, una proporzione altro non è che una frazione. Ma il termine proporzione, in matematica, si riferisce anche a un’espressione che coinvolge quattro quantità, non nulle, in un preciso ordine. Andremo a definire più precisamente questo concetto.
Diciamo che le quantità $A$, $B$, $C$ e $D$ (in quest’ordine) sono in proporzione tra loro se vale la seguente uguaglianza:$$ A : B = C : D $$Se le quattro quantità sono in proporzione, si può anche dire che “$A$ sta a $B$ come $C$ sta a $D$”, il che è una dicitura più precisa, e quindi preferibile, poiché tiene conto dell’ordine in cui compaiono le quantità. Le quantità coinvolte in una proporzione si dicono termini, e siccome è importante il loro ordine, si chiamano primo, secondo, terzo e quarto termine; il primo e il quarto termine si dicono termini estremi, perché per l’appunto stanno agli estremi della proporzione, mentre il secondo e il terzo termine si dicono termini medi, perchè stanno “in mezzo” alla proporzione. Ogni coppia di termini coinvolta in una proporzione ($A$ e $B$, $C$ e $D$) hanno un termine antecedente, cioè “che viene prima” (che sono $A$ e $C$), e un relativo termine conseguente, cioè “che viene dopo” (che sono, rispettivamente, $B$ e $D$).
Ad esempio, possiamo dire che “$75$ sta a $15$ come $10$ sta a $2$”, poiché $75 : 15 = 5$ e anche $10 : 2 = 5$. In questa proporzione, $75$ e $2$ sono gli estremi, mentre $15$ e $10$ sono i medi; possiamo dire che il termine conseguente a $75$ è $15$, o che il termine $10$ è l’antecedente di $2$. Un altro esempio è il seguente: possiamo dire che “$12$ sta a $2$ come $3$ sta a $\frac{1}{2}$”, dal momento che $12 : 2 = 6$, che è lo stesso di $3 : \frac{1}{2} = 3 \times 2 = 6$.
Le proporzioni sono conosciute da molto tempo, e i matematici greci ne fecero gran uso per dimostrare numerosi teoremi di geometria euclidea: anzi possiamo affermare che, inizialmente, le proporzioni servivano soprattutto a risolvere problemi geometrici. Basti pensare al teorema di Talete o agli stessi teoremi di Euclide, che coinvolgono tutti delle proporzioni. In effetti, potremmo citare Euclide proprio, che nei suoi Elementi (def. 20, Libro VII) dice:
Quattro numeri sono proporzionali tra loro, se il primo è multiplo o parte del secondo, come il terzo è rispetto al quarto.
Ma non dobbiamo dimenticare che una proporzione è l’uguaglianza tra due divisioni: se interpretiamo una divisione tra due termini come una frazione algebrica, abbiamo che una proporzione si riduce ad un’eguaglianza di due frazioni:$$ \frac{A}{B} = \frac{C}{D} $$Questa forma permette di svolgere molto più facilmente i calcoli algebrici, e di comprendere appieno le numerose proprietà di cui le proporzioni godono.
Una grande quantità di esempi di proporzioni coinvolge il calcolo delle percentuali. Una percentuale, infatti, può essere considerata come una proporzione in cui uno degli estremi, di solito il quarto termine, è il numero $100$ (da cui il nome, percentuale). Una percentuale è costituita da un numero seguito dal simbolo $\%$: ad esempio $20 \%$, $1 \%$ o $148 \%$. Questo numero costituirà il terzo membro della proporzione.
Ad esempio, se diciamo che “il $40 \%$ di $365$ è $146$”, possiamo impostare la proporzione $ 146 : 365 = 40 : 100$, e dire che $146$ è il $40 \%$ di $365$ perché $146$ sta a $365$ come $40$ sta a $100$. Un altro esempio di percentuale potrebbe essere il seguente: “$\frac{1}{4}$ è il $25 \%$ dell’unità”, il che è vero poichè $\frac{1}{4}$ sta a $1$ come $25$ sta a $100$, o, equivalentemente, $\frac{1}{4} : 1 = 25 : 100$.
Non sempre di una proporzione conosciamo tutti i membri: a volte ce n’è uno incognito, altre volte ci sono addirittura due termini ignoti. Se l’incognita è una sola, possiamo sempre trovare il valore che rende vera la proporzione; anche in alcuni casi con due incognite riusciamo a garantire una soluzione. In generale, sono molti i problemi risolubili mediante una proporzione: rimandiamo il discorso a questa lezione.