Tra i teoremi più importanti della Geometria Euclidea, un ruolo speciale assumono i due teoremi di Euclide. Tali teoremi permettono di stabilire alcune importanti relazioni tra alcuni segmenti notevoli di un triangolo rettangolo. Il primo teorema, inoltre, fornisce un metodo rapido per dimostrare il teorema di Pitagora.
TEOREMA (Primo teorema di Euclide): In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito su uno dei due cateti è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa.
Facendo riferimento alla figura precedente, abbiamo quindi che $$a^2 = d \cdot c \quad \text{o anche} \quad \overline{CB}^2 = \overline{AB} \cdot \overline{HB}.$$ Una formulazione analoga del teorema può essere data utilizzando il linguaggio delle proporzioni: ovvero, ogni cateto di un triangolo rettangolo è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa. Con una formula, questa affermazione si scrive $$c:a = a:d \quad \text{o anche} \quad \overline{AB} : \overline{CB} = \overline{CB} : \overline{HB}$$
TEOREMA (Secondo teorema di Euclide): In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
Facendo riferimento alla figura precedente, si ha quindi $$h^2 = d \cdot e \quad \text{o anche} \quad \overline{CH}^2 = \overline{AH} \cdot \overline{HB}.$$ Con le proporzioni, il teorema può essere riformulato in questo modo: l’altezza relativa all’ipotenusa di un triangolo rettangolo è medio proporzionale tra le due proiezioni dei cateti sull’ipotenusa. Esprimiamo questo concetto con una formula: $$e:h = h:d \quad \text{o anche} \quad \overline{AH} : \overline{CH} = \overline{CH} : \overline{HB}$$
Vediamo un esercizio che si può svolgere utilizzando i teoremi di Euclide.
PROBLEMA: In un triangolo rettangolo $ABC$ con angolo retto in $C$, un cateto $BC$ misura $2$ cm e la proiezione $AH$ dell’altro cateto sull’ipotenusa misura $3$ cm. Calcolare l’area del triangolo.
Svolgimento. Per costruzione, $\overline{AB} = \overline{AH} +\overline{HB}$; inoltre, per il primo teorema di Euclide sappiamo che $ \overline{CB}^2 = \overline{AB} \cdot \overline{HB}$. Allora
$$ \begin{aligned} \overline{CB}^2 & = \overline{AB} \cdot \overline{HB} = (\overline{AH} + \overline{HB}) \cdot \overline{HB} \\ & = \overline{AH} \cdot \overline{HB} + \overline{HB}^2. \end{aligned}$$
Sostituendo i dati forniti ($\overline{AH} = 3, \overline{CB} = 2$) al primo e all’ultimo termine della catena di uguaglianze, abbiamo l’equazione di secondo grado $$\overline{HB}^2 + 3\overline{HB} - 4 = 0$$ che può essere scomposta in $(\overline{HB} + 4 )(\overline{HB} - 1) = 0$. L’unica soluzione accettabile per questa equazione è quindi $\overline{HB} = 1$ cm (la lunghezza di un segmento non può essere negativa!).
A questo punto utilizziamo il secondo teorema di Euclide per trovare l’altezza relativa all’ipotenusa: $$\overline{CH}^2 = \overline{AH} \cdot \overline{HB} = 3 \cdot 1 = 3 \text{ cm}^2 \quad \Rightarrow \quad \overline{CH} = \sqrt{3} \text{ cm}.$$
Ricordando che la lunghezza dell’ipotenusa è data dalla relazione $\overline{AB} = \overline{AH} +\overline{HB}$, otteniamo $\overline{AB} = 4$ e in conclusione $$Area(ABC) = \frac{\overline{AB} \cdot \overline{CH}}{2} = \frac{4 \cdot \sqrt{3}}{2} = 2 \sqrt{3}.$$