Imponendo particolari condizioni sui lati di un triangolo qualunque (per esempio, considerando un triangolo isoscele o un triangolo equilatero) si ottengono proprietà geometriche interessanti, e spesso formule molto eleganti per ricavare area, perimetro e altre quantità legate al triangolo considerato. Cosa succede quando imponiamo una condizione sugli angoli del triangolo?
Definizione
Un triangolo avente un angolo retto come angolo interno è detto triangolo rettangolo.
I lati perpendicolari tra loro vengono chiamati cateti, mentre il lato opposto all’angolo retto viene chiamato ipotenusa.
Come abbiamo visto in questa lezione, il triangolo rettangolo costituisce una sorta di spartiacque nella classificazione dei triangoli in base agli angoli. La particolarità di questo ruolo si riflette nelle formule che si utilizzano per trovare area, perimetro, lunghezza delle mediane e di altri oggetti legati al triangolo rettangolo, oltre che in numerose proprietà geometriche. Per esempio:
- è l’unico tipo di triangolo in cui valgono il Teorema di Pitagora e i due Teoremi di Euclide;
- la mediana relativa all’ipotenusa è metà dell’ipotenusa stessa;
- l’altezza relativa a un cateto coincide con l’altro cateto;
- l’ortocentro del triangolo coincide con il vertice dell’angolo retto;
- il circocentro del triangolo coincide con il punto medio dell’ipotenusa.
Veniamo alle formule relative a un triangolo rettangolo generico. Per utilizzare ciascuna di queste formule, sarà sufficiente avere a disposizione una tra le seguenti combinazioni:
- la misura di due lati qualsiasi;
- l’ampiezza di un angolo acuto e la misura di un lato qualsiasi.
Ciascuno di questi casi verrà ulteriormente suddiviso in base alla posizione reciproca dei lati e degli angoli che si prendono in considerazione.
Per avere una comprensione soddisfacente delle formule in cui si utilizzano le misure degli angoli, si richiede una conoscenza approfondita della trigonometria e delle sue applicazioni ai triangoli (le formule sono state inserite per ragioni di completezza, nonostante non siano strettamente inerenti alla Geometria Euclidea).
ATTENZIONE: nelle tabelle che seguono ci riferiremo sempre ai nomi dei lati e degli angoli che si trovano nella figura del triangolo rettangolo mostrata in precedenza.
Area e perimetro
Raggi
Segmenti notevoli del triangolo
In questa sezione useremo la seguente convenzione: indicheremo con $h_l, m_l$, rispettivamente, l'altezza relativa e la mediana relativa al lato $l$ del triangolo. Inoltre, indichiamo con $R$ il raggio della circonferenza circoscritta.
Elementi mancanti del triangolo
Nella tabella che segue non compare il valore di $\alpha$, dato che è sempre pari a $\frac{\pi}{2}$ radianti.
Triangoli rettangoli particolari: il triangolo 45-45-90
Se un triangolo oltre a essere rettangolo è anche isoscele, allora:
- i lati congruenti sono necessariamente i due cateti;
- gli angoli acuti misurano $\frac{\pi}{4}$ radianti, cioè $45^\circ$.
Inoltre, il triangolo può essere visto come la metà di un quadrato di lato uguale a uno dei cateti.
Le formule relative a questo triangolo si ottengono combinando le proprietà del triangolo isoscele e del triangolo rettangolo; ciascuna di esse dipende solamente dalla lunghezza $i$ dell'ipotenusa, o dalla lunghezza $a$ dei cateti, a loro volta legati fra loro dalla relazione $i = \sqrt{2}a$. Per esempio:
Area: $A = \frac{a^2}{2} = \frac{i^2}{4};$
Raggio della circonferenza inscritta: $r = \frac{i}{2} (2 - \sqrt{2} ) = \frac{i}{2} (\sqrt{2} - 1).$
Triangoli rettangoli particolari: il triangolo 30-60-90
Se gli angoli acuti di un triangolo rettangolo misurano $\frac{\pi}{6}$ e $\frac{\pi}{3}$ radianti, cioè rispettivamente $30^\circ$ e $60^\circ$, allora il triangolo può essere visto come metà di un triangolo equilatero di lato uguale all’ipotenusa del primo triangolo.
Anche in questo caso possiamo ricavare alcune formule interessanti. Per esempio, l'ipotenusa $a$ e i cateti $b, c$ sono legati dalle relazioni $$a = 2c, b =\sqrt{3}c = \frac{\sqrt{3}}{2} a$$ e si ha
Area: $A = \frac{ab}{4} = \frac{\sqrt{3}}{8}a^2$;
Raggio della circonferenza inscritta: $r = \frac{\sqrt{3}-1}{2}c$;
Mediana relativa ad a: $m_a = c = \frac{a}{2} = R$, dove $R$ è il raggio della circonferenza circoscritta;
Altezza relativa ad a: $h_a = \frac{b}{2}$.
Revisione scientifica a cura di Marco Guglielmino