Il poligono regolare più semplice è costituito da tre lati, ed è detto triangolo equilatero. Come ogni poligono regolare, esso ha gli angoli e i lati congruenti tra loro; possiamo anche vederlo come un triangolo isoscele che ha la base congruente agli altri lati. Possiede numerose proprietà, e ciascuna grandezza a esso legata dipende esclusivamente dalla misura del lato del triangolo.
Definizione
Un triangolo con tutti i lati congruenti è detto triangolo equilatero. Ci riferiremo a ciascuno dei tre lati chiamandolo indifferentemente lato del triangolo.
È interessante notare che la sola richiesta di avere tutti i lati congruenti è sufficiente per rendere il triangolo equilatero un poligono regolare: infatti, una volta posta questa condizione, i tre angoli interni diventano automaticamente congruenti. Questa situazione è radicalmente differente quando il numero di lati del poligono sale: basti pensare al fatto che il rombo e il quadrato hanno tutti i lati congruenti, ma solo il quadrato ha tutti gli angoli congruenti, ed è quindi un poligono regolare.
Elenchiamo alcune proprietà del triangolo equilatero:
- Scelto un lato qualsiasi, il suo asse, l’altezza relativa, la mediana relativa e la bisettrice dell’angolo opposto giacciono tutti sulla stessa retta. Inoltre, tutte le mediane e tutte le altezze sono congruenti fra loro.
- Ciascun angolo interno misura esattamente $\frac{\pi}{3}$ radianti, cioè $60$ gradi.
- Ortocentro, baricentro, incentro e circocentro coincidono.
Ogni quantità relativa al triangolo equilatero è determinabile esclusivamente a partire dal suo lato $l$. Vediamone alcune:
Area: $ \displaystyle \qquad \frac{\sqrt{3}}{4}l^2$
Perimetro: $ \displaystyle \qquad 2p = 3l$
Mediane e altezze: $ \displaystyle \qquad m = h = \frac{\sqrt{3}}{2} l $
Raggio della circonferenza inscritta: $ \displaystyle \qquad r = \frac{\sqrt{3}}{6} l$
Raggio della circonferenza circoscritta: $ \displaystyle \qquad R = \frac{\sqrt{3}}{3} l$
Revisione scientifica a cura di Marco Guglielmino