All’interno dell’insieme dei poligoni, particolare importanza ha la categoria dei poligoni regolari. Questi poligoni sono particolarmente semplici da studiare; la loro struttura è completamente determinata dal numero di lati che essi hanno, e dalla misura di uno (e cioè, di ciascuno) di essi.
Definizione
Un poligono con $n$ lati è detto poligono regolare se è equiangolo ed equilatero, ovvero, se tutti i suoi angoli interni sono congruenti e se tutti i suoi lati sono congruenti.
Dato che tutte le misure dei suoi lati sono uguali, ci riferiremo solo al “lato” del poligono (e lo indicheremo con $l$).
Tra i poligoni regolari più comuni, troviamo il triangolo equilatero e il quadrato. Nei problemi di geometria (ma anche nella vita quotidiana) troviamo spesso anche le forme del pentagono regolare, dell’esagono regolare e dell’ottagono regolare.
Ciascun poligono regolare ammette una circonferenza circoscritta e una circonferenza inscritta, che hanno il medesimo centro: questo punto viene spesso chiamato centro del poligono regolare.
Definizione
Il raggio della circonferenza inscritta a un poligono regolare è detto anche apotema del poligono. In genere viene indicato con la lettera $a$. Pertanto, l’apotema è un segmento perpendicolare a un lato del poligono, che ha come estremo il centro del poligono stesso.
Il rapporto $$f = \frac{a}{l}$$ dove $l$ è il lato del poligono, è chiamato numero fisso del poligono regolare, e dipende soltanto dal numero di lati del poligono considerato.
A partire dal numero fisso per un poligono di $n$ lati, si può ricavare un’altra costante chiamata costante d’area: $$\varphi := \frac{nf}{2}$$ Anch’essa dipende soltanto dal numero di lati del poligono considerato.
Come si può vedere nel formulario riportato più in basso, la costante d’area serve a esprimere l’area del poligono in termini del solo lato.
Riportiamo in una tabella il valore dei numeri fissi e delle costanti d’area per i poligoni regolari con meno di 10 lati:
| Numero di lati | Numero fisso $f$ | Costante d'area $\varphi$ |
| 3 | 0.28867 | 0.43301 |
| 4 | 0.5 | 1 |
| 5 | 0.68819 | 1.72047 |
| 6 | 0.86602 | 2.59807 |
| 7 | 1.03826 | 3.63391 |
| 8 | 1.20710 | 4.82842 |
| 9 | 1.37373 | 6.18182 |
| 10 | 1.53884 | 7.69420 |
Formule per un poligono regolare
Esistono molte formule che si possono applicare a un qualsiasi poligono regolare di $n$ lati per ricavare alcune grandezze a esso relative. Se il lato del poligono misura $l$, abbiamo:
Perimetro: $2p = n \cdot l$.
Area: abbiamo a disposizione alcune formule, a seconda di cosa conosciamo; per esempio:
$$ A = \frac{1}{2}nla = \frac{1}{2} 2p \cdot a = l^2 \cdot \varphi $$ oppure, utilizzando le funzioni trigonometriche: $$A =\frac{1}{4}nl^2 \cot \left ( \frac{\pi}{n} \right ) = n a^2 \tan \left (\frac{\pi}{n} \right ).$$
Angoli interni: dato che la somma degli angoli interni in un poligono di $n$ lati è pari a $\pi(n-2)$ radianti, o $180(n-2)$ gradi, allora ciascun angolo interno misura $\frac{\pi}{n}(n-2)$ radianti, o $\frac{180}{n}(n-2)$ gradi.
Aggiungiamo che, conoscendo il valore del numero fisso $f$ è possibile ricavare la misura dell’apotema a partire dal lato del poligono, e viceversa (utilizzando “all’inverso” la definizione di numero fisso).
Revisione scientifica a cura di Marco Guglielmino