Tra i poligoni regolari più conosciuti, troviamo il pentagono regolare e l’esagono regolare. Essi sono i poligoni regolari più “semplici” (con meno lati) dopo il triangolo equilatero ed il quadrato. Sono entrambi poligoni regolari: dunque, entrambi i poligoni hanno tutti i lati congruenti fra loro, così come i loro angoli interni.
Il pentagono regolare
Ogni grandezza relativa al pentagono è univocamente determinata dal suo lato $l$. Vediamo alcune formule:
Apotema: $a = l \sqrt{ \frac{ \sqrt{5}}{10} + \frac{1}{4}}$
Area: $A =\frac{5}{2} l^2 \sqrt{ \frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{4}} = \frac{5}{2}la$
Perimetro: $2p = 5l$
L’ampiezza di ciascun angolo interno di un pentagono regolare è pari a $$\frac{180}{5}(5-2) = 36 \cdot 3 = 108^\circ$$o anche $\frac{3\pi}{5}$ radianti.
Dalle formule precedenti ricaviamo che il numero fisso del pentagono è $f = \sqrt{ \frac{ \sqrt{5}}{10} + \frac{1}{4}} = 0,668$, mentre la costante d’area del pentagono è $\varphi = \frac{5}{2} \ \sqrt{ \frac{\sqrt{5}}{10} \ + \ \frac{1}{4}} = 1,72$.
Per un pentagono regolare valgono le seguenti proprietà:
- il raggio della circonferenza circoscritta è dato da $$R = l\sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{10}};$$
- tutte le diagonali sono congruenti fra loro, a differenza di quanto accade per tutti i poligoni regolari con più di 5 lati. La misura della diagonale si può ricavare utilizzando la formula $$d = \frac{\sqrt{5}+1}{2}l;$$
- molte formule relative al pentagono possono essere riscritte utilizzando il rapporto aureo $\phi = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$:
##KATEX##\begin{aligned}\text{Apotema: } \quad & a = l\sqrt{\frac{\phi}{5} + \frac{3}{20}} \\\text{Area:} \quad & A = \frac{\sqrt{5}}{2}l^2 \sqrt{\phi + \frac{3}{4}} \\\text{Raggio:} \quad & R =l \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{5}\phi} \\\text{Diagonale:} \quad & d = \phi l\end{aligned}##KATEX##
L’esagono regolare
Anche qui, ogni grandezza relativa all’esagono è univocamente determinata dal suo lato $l$:
Apotema: $a = \frac{\sqrt{3}}{2} l$
Area: $A = \frac{3 \sqrt{3}}{2} l^2 = 3la$
Perimetro: $2p = 6l$
Ciascun angolo interno misura $120^\circ$, e quindi la somma degli angoli interni di un esagono è $720^\circ$ o $4 \pi$ radianti.
Dalle formule precedenti si può ricavare che il numero fisso dell’esagono è $f = \frac{\sqrt{3}}{2}$, e che la costante d’area è $\varphi = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$.
Inoltre, valgono le seguenti proprietà:
- il raggio della circonferenza circoscritta all’esagono è congruente al suo lato;
- le 3 diagonali che congiungono vertici diametralmente opposti dell’esagono lo dividono in 6 triangoli equilateri congruenti.
- è possibile ricoprire il piano con esagoni tutti congruenti fra loro (senza lasciare “buchi”). Gli unici altri poligoni regolari con questa proprietà sono il triangolo equilatero e il quadrato.
Revisione scientifica a cura di Marco Guglielmino