Le proporzioni si possono incontrare davvero dappertutto: dalla vita di tutti i giorni a quasi tutti gli ambiti scientifici. Gli esempi sono numerosissimi: grandezze fisiche direttamente o inversamente proporzionali, il calcolo delle percentuali, il rapporto tra le dimensioni di uno schermo televisivo.
Spesso però in una proporzione uno dei quattro termini non lo conosciamo, è incognito: il nostro problema è trovare tale termine. A volte la situazione è addirittura peggiore, e non conosciamo più di uno dei termini della proporzione. Come ci si deve quindi comportare? Come si fa a trovare il membro incognito di una proporzione?
Per risolvere questo problema ci vengono in aiuto l’algebra e, soprattutto, le proprietà delle proporzioni.
Distinguiamo subito due situazioni: dapprima trattiamo il caso in cui il termine ignoto sia uno solo, poi ci occuperemo degli altri casi.
Se il termine ignoto è uno solo, grazie alla proprietà dell’unicità del quarto proporzionale sappiamo che la soluzione del nostro problema è una e una soltanto. Quel che occorre fare allora è esplicitare il valore incognito a partire dalla proporzione, scritta come uguaglianza di frazioni. Se vale la proporzione $A : B = C : D$, sappiamo anche che questo è un altro modo di scrivere $\frac{A}{B} = \frac{C}{D}$: a partire da questa espressione, cerchiamo di isolare il termine che non conosciamo, cioè il termine incognito, e di esprimerlo in funzione degli altri tre. Chiameremo il termine incognito $x$: se $x$ è uno dei due medi, allora il valore incognito da trovare di $x$ è pari al prodotto degli estremi diviso il termine medio noto; mentre se $x$ è uno dei due estremi, allora il valore cercato di $x$ è uguale al prodotto dei due medi fratto l’estremo noto. Abbiamo le seguenti formule:##KATEX##\begin{aligned} x : B = C : D \Rightarrow x = \frac{B \times C}{D} & \quad & A : B = x : D \Rightarrow x = \frac{A \times D}{B}\\ A : x = B : C \Rightarrow x = \frac{A \times C}{B} & \quad & A : B = C : x \Rightarrow x = \frac{B \times C}{A}\end{aligned}##KATEX##Come si vede, ottenere il risultato è semplice: basta moltiplicare tra loro i due termini simili noti (cioè entrambi i medi o gli estremi) e dividere per il rimanente termine noto.
Presentiamo ora alcuni esempi di problemi risolubili mediante l’uso delle proporzioni.
Esempio 1
Un falegname deve realizzare una versione in scala di un tavolo rettangolare, le cui dimensioni sono $2,1 \text{ m} \times 0,9 \text{ m}$. Avendo lui a disposizione una tavola larga $70 \text{ cm}$, di quali dimensioni può costruire un tavolo che abbia i lati in proporzione con il suo modello?
Le possibili risposte sono due, a seconda di come si imposta la proporzione. Il falegname a disposizione una tavola larga $70 \text{ cm}$: una delle due dimensioni del modello in scala sarà quindi $0,7 \text{ m}$; l’altra si trova risolvendo una proporzione. La prima possibilità è che il falegname usi i $70 \text{ cm}$ della tavola per fare “il lato corto” del tavolo in scala: la proporzione da risolvere è dunque $ 2,1 : 0,9 = x : 0,7 $, in cui i termini antecendente / conseguente appaiono nell’ordine “lato lungo / lato corto”. Il quarto termine incognito si trova eseguendo il calcolo $x = \frac{2,1 \times 0,7}{0,9}$, che ha per soluzione $x = \frac{49}{30} = 1,6\overline{3}$. Il tavolo in scala, in questo caso, sarà di $1,63 \text{ m} \times 0,7 \text{ m}$ circa.
L’altra opzione consiste nell’usare la larghezza della tavola per fare il lato “lungo” del tavolo. In questo caso, il falegname deve risolvere la proporzione $ 0,9 : 2,1 = x : 0,7 $, in cui i ruoli di $0,9$ e $2,1$ si sono scambiati. La soluzione in questo caso è $ x = 0,3$, cioè un tavolino di $70 \text{ cm} \times 30\text{ cm}$.
Un altro esempio classico di come usare le proporzioni è il calcolo delle percentuali.
Esempio 2
Quanto vale il $15 \%$ di $720$? E $720$, di quale quantità è il $15 \%$?
Come sappiamo, una percentuale che coinvolga delle quantità può essere rappresentata da una proporzione in cui un estremo è $100$, il medio antecedente al $100$ è la percentuale in questione, e gli altri due termini devono essere opportunamente scelti.
Nel primo caso, ci viene chiesto qual è il $15\%$ di $700$: $700$ quindi rappresenta l’intero, di cui dobbiamo prendere una determinata porzione, che sarà la nostra incognita $x$. Abbiamo quindi la proporzione $ x : 720 = 15 : 100 $, che ha per quarto proporzionale $x = \frac{720 \times 15}{100} = 108$. Possiamo dunque affermare che il $15 \%$ di $720$ è $108$.
Nel secondo caso, invece, $700$ non costituisce l’intero, che è incognito, ma la parte: la proporzione da impostare quindi deve avere come termine corrispondente a $700$ il $15$, non il $100$! Arriviamo quindi alla proporzione $700 : x = 15 : 100$, che ha per quarto termine $x = \frac{700 \times 100}{15} = 4800$. Concludiamo che $700$ è il $15 \%$ di $4800$.
Grandezze che siano in rapporto di proporzionalità diretta o inversa forniscono una vasta gamma di esempi. Ne presentiamo uno qui di seguito:
Esempio 3
Come sappiamo dal mondo della fisica, la velocità è il rapporto tra la spazio percorso ed il lasso di tempo impiegato a percorrerlo. Supponiamo che un’auto viaggi mantenendo costante la propria velocità $v$, e supponiamo inoltre che in quattro ore percorra $250$ kilometri. Indicare quanto spazio percorre nei seguenti intervalli di tempo: mezz’ora, un’ora e tre quarti e tre ore.
Segnamo con $s$ il quantitativo di spazio che l’auto percorre e con $t$ il tempo trascorso mentre percorre quello spazio. Il fatto che la velocità rimane costante ci indica che, comunque prese le due quantità, il loro rapporto $\frac{s}{t}$ rimarrà costante: sarà sempre uguale a $v$. Questo significa che $s$ e $t$ sono due grandezze direttamente proporzionali, siccome da $\frac{s}{t} = v$ otteniamo $s = v t$ (e ci fa inoltre capire che l’auto si muove di moto rettilineo uniforme). Si noti come il fatto che $v$ sia costante è strettamente necessario. La definizione di grandezze direttamente proporzionali richiede infatti che il loro rapporto sia, appunto, costante: se l’auto variasse la propria velocità, non avremmo più un rapporto di proporzionalità diretta tra spazio percorso e tempo di spostamento.
Ora che sappiamo che le grandezze sono direttamente, possiamo impostare una proporzione che ci permetta di risolvere il problema: siccome in quattro ore l’auto percorre 250 kilometri, vale la proporzione $ 250 : 4 = s : t $. Il problema ci fornisce i vari intervalli di tempo, quindi le varie $t$ sono note: le incognite sono rappresentate da $s$. Risolvendo la proporzione, otteniamo che $s = \frac{250 \times t}{4}$ (fare attenzione, lo spazio è misurato in kilometri e il tempo in ore!). Sostituendo i vari valori noti, otteniamo i senguenti risultati: in mezz’ora ($t = \frac{1}{2}$) l’auto percorre $31,25$ kilometri, in un’ora e tre quarti (cioè $t = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$) l’auto fa $109$ kilometri e $375$ metri, e infine dopo tre ore l’auto è a $187,5$ kilometri dal punto di partenza.
Consideriamo ora il caso in cui il numero di valori incogniti è più di uno. Questo problema non è più, in generale, risolubile: nel senso che non possiamo sapere se esiste una soluzione, ma quel che è peggio è che non possiamo sapere se la soluzione è una sola, o se ce ne sono molte.
C’è però un caso particolarissimo in cui possiamo riuscire a risolvere il problema: è quello della ricerca del medio proporzionale, anche noto con il nome di proporzione continua. Si tratta di trovare il valore dell’incognita $x$ che rende vera la proporzione$$ A : x = x : D $$Si noti come la $x$ sostituisce entrambi i termini medi della proporzione, da cui il nome di “medio proporzionale”, e le incognite sono messe una dopo l’altra, da cui il nome “proporzione continua”.
Il valore incognito di $x$ si ottiene facilmente usando la proprietà fondamentale delle proporzioni: dalla propozione continua scritta sopra otteniamo$$A \times D = x^2$$Da questa uguaglianza possiamo ricavare il valore di $x$ effettuando una radice quadrata:$$ x = \sqrt{A \times D} $$Si noti che, applicando la proprietà dell’invertire ad una proporzione continua, le incognite passano ad essere gli estremi: la ricerca di un “estremo proporzionale” quindi è equivalente alla ricerca di un medio proporzionale.
Celeberrimi esempi di come impiegare il medio proporzionale sono i teoremi di Euclide. Il primo teorema di Euclide, infatti, asserisce che un cateto realizza il medio proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione di quel cateto sull’ipotenusa. Il secondo teorema di Euclide invece garantisce che l’altezza relativa all’ipotenusa costituisce il medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa.
Ma forse il più famoso esempio di medio proporzionale proviene dalla costruzione del numero $\phi = 1,6180339887 \dots$, il rapporto aureo. Il problema da cui scaturisce il rapporto aureo è il seguente: vogliamo prolungare un segmento $AB$, dalla parte di $B$, sino ad un punto $C$ di modo che il segmento $AC$ stia ad $AB$ come $AB$ sta a $BC$. Vogliamo quindi realizzare la proporzione $ AC : AB = AB : BC $. Se indichiamo con $a$ la lunghezza di $AB$ (nota), e con $x$ la lunghezza di $AC$ (incognita), la proporzione precedente si riduce a $$ x : a = a : (x - a)$$Ciò vuol dire che $a$ deve realizzare il medio proporzionale tra $x$ e $x-a$: deve allora valere l’equazione $$ a^2 = x (x - a) $$Questa è un’equazione di secondo grado parametrica (in cui il parametro $a$ è necessariamente positivo, essendo una lunghezza) che ha per soluzione $x = \phi \times a$ e $x = (1 - \phi) \times a$.
Concludiamo con un ultimo esempio sui medi proporzionali.
Esempio 4
Prendete un foglio di carta: dovrebbe essere di “formato A4”. Ora piegatelo in due, lungo la sua dimensione più lunga: quel che avete ottenuto è un foglio di “formato A5”, in cui il rapporto tra le due dimensioni è il medesimo del foglio di partenza - tranne per il fatto che la sua altezza è pari alla larghezza del precendete, e la sua larghezza è pari alla metà dell’A4. Chiamiamo $a$ e $b$, con $a > b$, le dimensioni del formato A4, e siccome effettuaimo la piega lungo la maggiore delle due, il foglio di formato A5 avrà dimensioni $b \times \frac{a}{2}$, come illustrato in figura:
Il “formato A” è uno standard industriale di tipografia (l’ISO 216), definito nel 1975, che realizza questa proprietà. Ogni elemento della serie A si ottiene dal precedente piegandolo a metà lungo la sua dimensione più lunga: metà di un A0 costituisce un foglio A1, metà di un A1 fa un A2, e così via. La base del formato A è il foglio A0, dell’area di un metro quadrato.
Sappiamo che “altezza” e “larghezza” di ciascun foglio del formato A sono sempre nello stesso rapporto, quindi deve valere la proporzione$$ a : b = b : \frac{a}{2}$$Come si vede, data una dimensione $a$, l’altra dimensione del foglio, $b$, realizza il medio proporzionale tra $a$ e $\frac{a}{2}$. Quindi, deve valere l’equazione $\frac{a^2}{2} = b^2$, ossia $ a = \sqrt{2} b $. Ricordiamo che un A0 deve coprire un metro quadrato, cioè le sue dimensioni $a_0 \times b_0$ devono essere tali per cui $a_0 \times b_0 = 1 \text{ m}^2 = 10000 \text{ cm}^2$. Questo permette di ottenere le misure iniziali, seppur approssimate, $b_0 = 841 \text{ cm}$ e $a_0 \approx \sqrt{2}h_0 \approx 1189$ (l’errore che si commette è di $51 \text{ mm}^2$, meno dell’uno percento). Da queste misure si ricavano quelle dei fogli di formato successivo (approssimando i valori dopo la virgola): A1 sarà $841 \times 594$, A2 è $594 \times 420$, A3 misura $420 \times 297$, A4 invece è $297 \times 210$... provate a misurare per credere!
A partire dalla serie “A”, sono state sviluppate le serie “B” e “C”. Ciascun foglio della serie “B” realizza il medio termine tra due fogli successivi della serie “A” (ad esempio le dimensioni di un foglio B1 sono i medi proporzionale tra quelle di un A0 e un A1), mentre la serie “C” è in proporzione continua tra i fogli della serie “A” e quelli della serie “B” (ossia A2 sta a C2 come C2 sta a B2, ad esempio).