Una delle operazioni più semplici che possiamo considerare, quando si parla di elevamento a potenza, è l’elevamento al quadrato (cioè l’elevamento alla seconda). Questa operazione consiste nel prendere un qualsiasi numero $a$ e moltiplicarlo per se stesso: per definizione infatti $a^2 = a \cdot a$. È quindi molto facile determinare il quadrato di un generico numero reale $a$, poiché è sufficiente svolgere una moltiplicazione. Per esempio:
- $2^2 = 2 \cdot 2 = 4;$
- $(-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25;$
- $\left ( \frac{2}{3} \right )^2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}.$
Supponiamo invece di voler affrontare il problema inverso, cioè: dato un numero $b$, vogliamo sapere qual è quel numero $x$ che elevato al quadrato dà proprio $b$. Questo problema non è affatto semplice, in generale, per i seguenti motivi.
- Se $b$ non è riconducibile ad un quadrato perfetto (ovvero, un numero riconoscibile immediatamente come il quadrato di uno specifico numero), allora diventa davvero difficile determinare il valore numerico di $x$. Per esempio, se prendiamo $b=9$ è immediato vedere che $9 = 3 \cdot 3$, e quindi possiamo dire $x=3$; ma se scegliessimo $b=5$, come facciamo a determinare $x$ in modo che $x^2 = 5$?
- Se prendiamo un numero $b$ negativo, non riusciamo di certo a trovare un numero reale $x$ tale che $x^2 = b$. Infatti quando moltiplichiamo un numero per se stesso, che sia positivo o negativo, otteniamo sempre un numero positivo.
- Anche se abbiamo a che fare con un quadrato perfetto, scegliendo per esempio $b=9$ come prima, non possiamo determinare $x$ univocamente. Infatti, si ha: $$3 \cdot 3 = 9 \qquad \text{ma anche} \qquad (-3) \cdot (-3) = 9$$Come facciamo a scegliere se $x=3$ oppure se $x=-3$?
Per mettere a posto tutti questi problemi abbiamo per forza bisogno di introdurre una definizione che chiarisca un po’ la situazione.
Definizione
Dato un numero reale $b \geq 0$, si dice radice quadrata di $b$ quel numero reale $x \geq 0$ il cui quadrato è uguale ad $b$. La radice quadrata di $b$ si scrive $\sqrt{b}$. In formule: $$\sqrt{b} = x \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = b \qquad x \geq 0, \ b \geq 0$$
Rivediamo uno per uno i problemi che abbiamo incontrato prima, e vediamo come questa definizione ci è utile per risolverli.
- Quando abbiamo a che fare con un numero $b$ che non è un quadrato perfetto, è sufficiente scrivere $x = \sqrt{b}$ per indicarne la sua radice quadrata. Di sicuro questo non ne determina il valore numerico (la cui determinazione è legata all’uso di una calcolatrice o di qualche metodo di approsimazione) ma perlomeno riassume con una espressione il concetto di “numero che elevato al quadrato dà $b$”.
- Nella definizione di radice quadrata, si è posto che $b$ debba essere positivo o nullo. In sostanza non è possibile definire la radice quadrata di un numero negativo come un numero reale, proprio perché non esiste numero reale che moltiplicato per se stesso dia un numero negativo.
- Nella definizione, la radice quadrata è un numero $x$ che è positivo o nullo. Di conseguenza, per definizione del radicale, si sceglie sempre un numero positivo come radice quadrata di un numero positivo. Quindi $\sqrt{9} = 3$ e non $-3$; e ancora, $\sqrt{4} = 2, \sqrt{36} = 6$ e così via.
Vale la pena di sottolineare che $\sqrt{0} = 0$ (perchè $0^2 = 0$) e $0$ è l’unico numero che ha radice quadrata nulla.
La radice cubica
L’esigenza di definire la radice quadrata è partita dal fatto che abbiamo tentato di “invertire” l’elevamento al quadrato. Questo ragionamento si può provare a estendere all’elevamento a una qualsiasi potenza, come ad esempio all’elevamento al cubo (cioé l’elevamento alla terza).
Definizione
Dato un numero reale $a$, si dice radice cubica di $a$ quel numero il cui cubo è uguale ad $a$. La radice cubica di $a$ si scrive $\sqrt[3]{a}$. In formule: $$\sqrt[3]{a} = b \quad \Leftrightarrow \quad b^3 = a \qquad a, b \in \mathbb{R}$$
Facciamo alcune osservazioni.
- Anche la radice cubica non è facile da determinare, nel caso in cui si stia calcolando la radice di un numero che non sia un cubo perfetto; in quel caso si deve ricorrere all’uso di una calcolatrice o di altri metodi di approsimazione.
- Nella definizione non sono presenti condizione sul segno del numero di cui stiamo facendo la radice cubica, né sul risultato dell’operazione. Il motivo di questo fatto è che la radice cubica di un numero qualsiasi esiste sempre, ed ha lo stesso segno del numero considerato. Per esempio:
- $\sqrt[3]{1} = 1$ perché $1^3 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1;$
- $\sqrt[3]{-8} = -2$ perché $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8;$
- $\sqrt[3]{125} = 5$ perché $5^3 = 125.$