Definizione
Un’equazione parametrica (o letterale) di secondo grado è un’equazione di secondo grado in un’incognita $x$ che contiene anche altre lettere oltre all’incognita, che vengono chiamate parametri.
Inoltre, se sostituiamo dei valori numerici al posto dei parametri, si deve ottenere un’equazione di secondo grado in $x$.
La risoluzione di un’equazione parametrica di secondo grado è, in generale, molto articolata. In questa lezione vogliamo dare una traccia del procedimento da seguire, e di come si deve svolgere la discussione dei parametri contenuti nell’equazione.
- Stabilire se esistono valori dei parametri che rendono l’equazione priva di senso. Una volta trovato l’insieme $E$ di questi valori, escluderlo dall’analisi e proseguire.
- Riordinare l’equazione parametrica in modo da portarla nella forma $Ax^2 + Bx + C = 0$, con $A, B, C$ espressioni che possono contenere i parametri. Nel riordinare l’equazione bisogna però stare attenti a non moltiplicare o dividere entrambi i membri per quantità che contengono i parametri.
- Trovare i valori dei parametri per i quali $A = 0$. Verificare quali di questi valori non appartengono a $E$; chiamiamo $Z$ l’insieme di tali valori. Sostituire ciascuno dei valori di $Z$ nell’equazione parametrica e risolvere l’equazione ottenuta.
- Studiare il discriminante $\Delta = B^2 - 4AC$ dell’equazione parametrica.
- Per tutti i valori dei parametri tali che $\Delta < 0$ e che non appartengono né a $Z$ né a $E$, l’equazione parametrica è impossibile.
- Per tutti i valori dei parametri tali che $\Delta = 0$ e che non appartengono né a $Z$ né a $E$, l’equazione parametrica ha una sola soluzione data da $$x = - \frac{B}{2A}$$
- Per tutti i valori dei parametri tali che $\Delta > 0$ e che non appartengono né a $Z$ né a $E$, l’equazione parametrica ha due soluzioni distinte, date da $$x_1 = \frac{-B + \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}, \quad x_2 = \frac{-B - \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$$
- Ricapitolare in maniera ragionata quanto ottenuto ai punti 1, 3 e 4.
Facciamo un esempio per chiarire l’utilizzo di questo schema risolutivo.
Consideriamo l’equazione parametrica di secondo grado $$kx(kx+1) = \frac{1}{k+3} + 9x^2$$
- Il valore $k = -3$ crea problemi per l’equazione, perchè per tale valore il termine $\frac{1}{k+3}$ è privo di significato. Quindi dobbiamo escludere $k = -3$, cioè: $E = \{-3\}$.
- Svolgiamo i calcoli:
##KATEX##\begin{aligned}kx(kx+1) & = \frac{1}{k+3} + 9x^2 \\k^2x^2 + kx - \frac{1}{k+3} - 9x^2 & = 0 \\(k^2 - 9)x^2 + kx - \frac{1}{k+3} & = 0\end{aligned}##KATEX##
Abbiamo riordinato l’equazione nella forma $Ax^2 + Bx + C = 0$, con $A = k^2 - 9, B = k, C = - \frac{1}{k+3}$. - Dato che $A = (k-3)(k+3)$, i valori di $k$ per cui $A = 0$ sono $-3, 3$. Visto che $-3$ è stato escluso al punto 1, rimane da analizzare il caso in cui $k = 3$. Per questo valore, risulta: $$0 \cdot x^2 + 3x - \frac{1}{6} = 0 \quad \Rightarrow \quad 3x = \frac{1}{6} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{18}$$
- Calcoliamo il discriminante dell’equazione parametrica:
##KATEX##\begin{aligned}\Delta & = B^2 - 4AC = \\& = k^2 - 4(k^2 - 9) \left ( - \frac{1}{k+3} \right ) = k^2 + 4\frac{(k+3)(k-3)}{k+3} = \\& = k^2 + 4(k-3) = k^2 + 4k - 12 = \\& = (k-2)(k+6)\end{aligned}##KATEX##
Sottolineiamo che è possibile semplificare il termine $(k+3)$ perchè, al punto 1, abbiamo escluso il valore $k = -3$ dall’analisi.- La disequazione di secondo grado $\Delta < 0$ ha come soluzione $-6 < k < 2$. Dobbiamo però escludere $k = -3$ da questo intervallo, per quanto detto al punto 1. Quindi per $-6 < k < 2$ con $k \neq -3$ l’equazione parametrica è impossibile.
- L’equazione di secondo grado $\Delta = 0$ ha come radici $k_1=-6$ e $k_2 = 2$. Per ciascuno di questi valori l’equazione parametrica ha una sola soluzione, entrambe della forma $x = -\frac{B}{2A} = -\frac{k}{2(k^2-9)}$.
Per $k = k_1$, cioè $k = -6$, si ha $x = -\frac{-6}{2 \cdot (36 - 9)} = \frac{1}{9}$.
Per $k = k_2$, cioè $k = 2$, si ha $x = -\frac{2}{2 \cdot (4 - 9)} = - \frac{1}{5}$. - La disequazione di secondo grado $\Delta > 0$ ha come soluzione $k <-6 \vee k > 2$. Dobbiamo però escludere $k = 3$ perché per questo valore $A = 0$. Quindi per $k <-6 \vee k > 2$ con $k \neq 3$ l’equazione parametrica ha due soluzioni distinte:
##KATEX##\begin{aligned}x_1 & = \frac{-B + \sqrt{\Delta}}{2A} = \frac{-k + \sqrt{(k+6)(k-2)}}{2(k^2-9)} \\ x_2 & = \frac{-B - \sqrt{\Delta}}{2A} = \frac{-k - \sqrt{(k+6)(k-2)}}{2(k^2-9)}\end{aligned}##KATEX##
- Ricapitoliamo quanto ottenuto.
Per $k = -3$, l’equazione parametrica è priva di senso.
Per $k = 3$, l’equazione parametrica ha una sola soluzione: $x = \frac{1}{18}$.
Per $-6 < k < 2, k \neq -3$, l’equazione parametrica è impossibile.
Per $k = -6$, l’equazione parametrica ha una sola soluzione: $x = \frac{1}{9}$.
Per $k = 2$, l’equazione parametrica ha una sola soluzione: $x = - \frac{1}{5}$.
Per $k <-6 \vee k > 2, k \neq 3$, l’equazione parametrica ha due soluzioni distinte: $x_1 = \frac{-k + \sqrt{(k+6)(k-2)}}{2(k^2-9)}$ e $x_2 = \frac{-k - \sqrt{(k+6)(k-2)}}{2(k^2-9)}$.
Altri tipi di esercizi con le equazioni di secondo grado
Molto spesso ci si trova ad affrontare esercizi con equazioni parametriche di secondo grado, in cui -anziché analizzare in generale l’equazione e le soluzioni che si possono ottenere- si impongono condizioni sul suo comportamento. Per esempio, si potrebbe richiedere di determinare i valori dei parametri affinché:
- la differenza delle radici sia uguale a $1$;
- la somma delle radici sia uguale a $5$;
- una radice sia il doppio dell’altra.
Vediamo però che in questi esempi si sta facendo una supposizione di fondo: le soluzioni devono esistere. Non solo: per svolgere il primo esempio le soluzioni devono anche essere distinte! Come abbiamo visto nell’esercizio svolto prima, questo non è affatto garantito a priori, e bisogna stare molto attenti nel maneggiare i parametri coinvolti nell’analisi dell’equazione parametrica.
Consideriamo un’equazione parametrica di secondo grado, che scriviamo nella forma canonica $$ax^2 + bx + c = 0$$dove $a, b, c$ sono espressioni che contengono parametri. Si ha che:
- l’equazione diventa di primo grado quando $a = 0$;
- l’equazione non ha soluzioni quando $\Delta < 0$, cioè quando $b^2 - 4ac < 0$.
Queste richieste vanno trattate separatamente rispetto alle altre, perché sotto una di queste condizioni l’equazione considerata cambia radicalmente comportamento.
La tabella che segue, invece, elenca la maggior parte delle richieste che possono capitare negli esercizi; ciascuna di esse ha senso di essere svolta, però, soltanto quando $$a \neq 0, \qquad b^2 - 4ac \geq 0$$Inoltre è importante sottolineare che, se indichiamo con $x_1, x_2$ le soluzioni dell'equazione parametrica (eventualmente coincidenti) in generale si ha $$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} \qquad \qquad x_1x_2 = \frac{c}{a}$$
| Richiesta (in italiano) | Richiesta (in formule) | Formula risolutiva |
| Soluzioni coincidenti | $$x_1 = x_2$$ | $$\Delta = b^2 - 4ac = 0$$ |
| Soluzioni distinte | $$x_1 \neq x_2$$ | $$\Delta = b^2 - 4ac > 0$$ |
| Equazione spuria | --- | $$c = 0$$ |
| Equazione pura | --- | $$b = 0$$ |
| Equazione monomia | --- | $$b = 0, c=0$$ |
| Somma delle radici uguale a $t$ | $$x_1 + x_2 = t$$ | $$-\frac{b}{a} = t$$ |
| Differenza delle radici uguale a $t$ | $$x_1 - x_2 = t$$ | $$\frac{\sqrt{\Delta}}{a}= t$$ |
| Prodotto delle radici uguale a $t$ | $$x_1 \cdot x_2 = t$$ | $$\frac{c}{a} = t$$ |
| Radici opposte | $$x_1 = -x_2$$ | $$\frac{b}{a} = 0$$ |
| Radici reciproche | $$x_1 = \frac{1}{x_2}$$ | $$\frac{c}{a} = 1$$ |
| Radici concordi | $x_1 , x_2 > 0$ o $x_1 , x_2 < 0$ | $$\frac{c}{a} > 0$$ |
| Radici discordi | $x_1> 0$ e $x_2 < 0$ o $x_1 < 0$ e $x_2 > 0$ | $$\frac{c}{a} < 0$$ |
| Radici positive | $$ x_1 , x_2 > 0 $$ | $\frac{c}{a} > 0$ e $-\frac{b}{a}>0$ |
| Radici negative | $$ x_1 , x_2 < 0 $$ | $\frac{c}{a} > 0$ e $-\frac{b}{a}<0$ |
| Somma dei quadrati delle radici uguale a $t$ | $$x_1^2 + x_2^2 = t$$ | $$\frac{b^2-2ac}{a^2} = t$$ |
| Somma dei cubi delle radici uguale a $t$ | $$x_1^3 + x_2^3 = t$$ | $$-\frac{b^3-3abc}{a^3} = t$$ |
| Somma dei reciproci delle radici sia uguale a $t$ | $$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = t$$ | $$-\frac{b}{c} = t$$ |
| Somma dei quadrati dei reciproci delle radici sia uguale a $t$ | $$\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = t$$ | $$\frac{b^2-2ac}{c^2} = t$$ |
Qui di seguito sono riportate alcune richieste la cui soluzione è un po' più laboriosa.
- Avere le radici proporzionali, cioè $x_1 = m \cdot x_2$: bisogna risolvere il sistema:
##KATEX##\begin{cases}x_1 = mx_2 \\x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \\x_1x_2 = \frac{c}{a}\end{cases}##KATEX##
che, nel caso in cui $b \neq 0$ e $m \neq 0, -1$ ha come formula risolutiva: $$\frac{ca}{b^2} = \frac{m}{(1+m)^2}$$ - Chiedere che una delle radici sia pari a $r$, cioè $x_1 = r$: è sufficiente sostituire il valore $r$ al posto di $x$ nell'equazione parametrica, e risolvere rispetto ai parametri.
- Chiedere che una radice sia uguale a $s$ e l'altra a $r$: bisogna risolvere il sistema:
##KATEX##\begin{cases}-\frac{b}{a} = r+s \\\frac{c}{a} = rs\end{cases}##KATEX##
Ricordiamo infine che è di fondamentale importanza avere dimestichezza con questo tipo di equazioni per poter risolvere con facilità le disequazioni letterali di secondo grado.
Revisione scientifica a cura di Marco Guglielmino